В треугольнике ABC ∠B = 90°, ∠A = 45°, АС = 12 см, BD — биссектриса. а) Между какими целыми числами заключено расстояние от точки D до стороны АВ? б) Найдите длину отрезка MN, где DM ⊥ АВ, DN ⊥ ВС. С решением

Давайте разберем задачу по частям и подробно объясним каждый шаг. **Дано:** - В треугольнике \( ABC \) угол \( \angle B = 90^\circ \), - \( \angle A = 45^\circ \), - \( AC = 12 \) см, - \( BD \) — биссектриса. --- ## Шаг 1. Построение и определение элементов треугольника Так как \( \angle B = 90^\circ \) и \( \angle A = 45^\circ \): \[ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 45^\circ - 90^\circ = 45^\circ \] Следовательно, треугольник \( ABC \) — **прямоугольный равнобедренный** (по двум углам по 45°). Это важно! Тогда стороны, лежащие против равных углов, равны. Обозначим стороны: - \( AB \) — гипотенуза, - \( AC \) — катет напротив угла \( \angle B \), - \( BC \) — катет напротив угла \( \angle A \). Так как \( \angle A = \angle C = 45^\circ \): \[ AB \quad \text{ — гипотенуза}, \quad AC = BC \] Известно, что \( AC = 12 \) см. Поскольку это катет, а треугольник прямой и равнобедренный: \[ AC = BC = 12\, \text{см} \] Гипотенуза, по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2} \approx 16.97\, \text{см} \] --- ## Шаг 2. Расположение точек и построение биссектрисы \( BD \) - \( D \) — точка на стороне \( AC \), где проводится биссектриса \( BD \) угла \( \angle B \). По определению биссектрисы: \( BD \) делит угол \( \angle B \) пополам. В треугольнике \( ABC \): \[ \angle B = 90^\circ \] По теореме о делении углов биссектрисой: - \( D \) — точка на стороне \( AC \) между \( A \) и \( C \), - и \( D \) делит \( AC \) пропорционально прилежащим сторонам \( AB \) и \( BC \): \[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \] Но в нашем случае \( AB = BC \), так что: \[ \frac{AD}{DC} = 1 \] Это значит, что \( D \ — середина \( AC \). Следовательно: \[ AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6\, \text{см} \] --- ## Шаг 3. Обозначение координат и построение точки \( D \) Разместим треугольник на координатной плоскости для удобства: - \( A(0,0) \), - \( C(12,0) \) (так как \( AC = 12 \)), - \( B(0, 12) \) (так как \( BC = 12 \), и \( B \) расположен на вертикальной оси). Точка \( D \) — середина \( AC \): \[ D \left( \frac{0+12}{2}, 0 \right) = (6,0) \] --- ## Шаг 4. Расчет расстояния от точки \( D \) до стороны \( AB \) - \( A(0,0) \), - \( B(0,12) \), - \( D(6,0) \). Уравнение прямой \( AB \): \[ А(0,0), \quad B(0,12) \] Это вертикальная прямая \( x=0 \). Расстояние от точки \( D(6,0) \) до \( AB \), которое есть расстояние до прямой \( x=0 \): \[ d = |x_D - 0| = 6\, \text{см} \] --- ### **Ответ к части (а):** Расстояние от точки \( D \) до стороны \( AB \): \[ d = 6\, \text{см} \] Это целое число. Между какими целыми числами оно заключено? Одно — 6, другое — 7. \[ \boxed{ \text{Между целыми числами 6 и 7} } \] --- ## Шаг 5. Нахождение длины отрезка \( MN \) Теперь рассмотрим условие: - \( DM \perp AB \), - \( DN \perp BC \). Задача требует найти длину \( MN \), где \( M \) — точка пересечения \( DM \) с \( AB \), \( N \) — точка пересечения \( DN \) с \( BC \). ### Построение точек \( M \) и \( N \): Поскольку \( DM \perp AB \) и \( DN \perp BC \), то: - \( M \) — projеkция точки \( D \) на \( AB \), - \( N \) — projеkция точки \( D \) на \( BC \). --- ## Шаг 6. Находим точку \( M \) - \( AB \): вертикальная прямая \( x = 0 \), - \( D(6,0) \). Проекция \( D \) на \( AB \): - Перпендикуляр от \( D \) к \( x=0 \): \[ M(0,0) \] --- ## Шаг 7. Находим точку \( N \) - \( BC \): это линия, соединяющая \( B(0,12) \) и \( C(12,0) \). Найдем уравнение \( BC \): Коэффициент \( k \): \[ k = \frac{0 - 12}{12 - 0} = -1 \] Уравнение \( BC \): \[ y - 12 = -1(x - 0) \Rightarrow y = -x + 12 \] Проекция \( D(6,0) \) на \( BC \): Положим, что \( N \) — точка на \( BC \) с проекцией \( D \). Формула расстояния от точки до прямой: Запишем уравнение \( BC \): \[ x + y - 12 = 0 \] Проекция точки \( D(6,0) \) на линию \( x + y - 12=0 \): Расстояние: \[ d = \frac{|6 + 0 - 12|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \] Проекция — это точка на \( BC \), координаты которой находятся по формуле: \[ N = \left( x_N, y_N \right) \] где: \[ x_N = x_D - \frac{A \cdot (A x_D + B y_D + C)}{A^2 + B^2} \] Но проще — найти точку \( N \) через параметр \( t \), зная уравнение линии \( BC \): \[ x = t, \quad y = -t + 12 \] Найдем \( t \), при котором расстояние до \( D(6,0) \) минимально: - Расстояние между \( D \) и точкой \( N(t) \): \[ r(t) = \sqrt{(t - 6)^2 + (-t + 12 - 0)^2} \] \[ r(t)^2 = (t - 6)^2 + (-t + 12)^2 \] Раскроем: \[ (t - 6)^2 = t^2 - 12t + 36 \] \[ (-t + 12)^2 = t^2 - 24t + 144 \] Сумма: \[ r(t)^2 = t^2 - 12t + 36 + t^2 - 24t + 144 = 2t^2 - 36t + 180 \] Это квадратичная функция, минимальное значение достигается при: \[ \frac{d}{dt}(r(t)^2) = 4t - 36 = 0 \Rightarrow t = 9 \] Тогда точка \( N \): \[ x_N = 9,\quad y_N = -9 + 12 = 3 \] --- ## Шаг 8. Длина \( MN \) - \( M(0,0) \), - \( N(9,3) \). Расстояние между \( M \) и \( N \): \[ MN = \sqrt{(9 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3 \sqrt{10} \] --- ## Итоговые ответы: ### **(а)** Расстояние от \( D \) до стороны \( AB \): Между целыми числами 6 и 7. --- ### **(б)** Длина отрезка \( MN \): \[ \boxed{ MN = 3 \sqrt{10} } \] Это приблизительно 9.5 см. --- Если есть вопросы по шагам или требуется более подробное объяснение — обращайтесь!