cos 2x + sin^2 x = 0, 25

Давайте решим уравнение: \(\cos 2x + \sin^2 x = 0,25\).

Шаги решения:

Шаг 1: Используйте триггономические тождества

Вы знаете, что:

\[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \]

Это классическое тождество. Подставим его в исходное уравнение:

\[ (1 - 2 \sin^2 x) + \sin^2 x = 0,25 \]

Шаг 2: Упростим уравнение

Объединим подобные члены:

\[ 1 - 2 \sin^2 x + \sin^2 x = 0,25 \]

\[ 1 - \sin^2 x = 0,25 \]

Шаг 3: Решение относительно \(\sin^2 x\)

Вычитая 1 из обеих частей:

\[ - \sin^2 x = 0,25 - 1 \]

\[ - \sin^2 x = -0,75 \]

Умножим обе части на -1:

\[ \sin^2 x = 0,75 \]

Шаг 4: Находим \(\sin x\)

\[ \sin x = \pm \sqrt{0,75} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

так как \(\sqrt{0,75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Шаг 5: Общие решения для \(\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Значения \(\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\) соответствуют углам:

• \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \]

• \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \]

или, что то же самое:

\[ x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \]

где \(n \in \mathbb{Z}\).

Итоговые решения:

\[ \boxed{ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, } \] где \(n \in \mathbb{Z}\).

Если нужно более уточненное решение или пояснения — скажите!