Cos 2x + sin^2 x = 0, 25

Давайте решим уравнение: \(\cos 2x + \sin^2 x = 0,25\). Шаги решения: ### Шаг 1: Используйте триггономические тождества Вы знаете, что: \[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \] Это классическое тождество. Подставим его в исходное уравнение: \[ (1 - 2 \sin^2 x) + \sin^2 x = 0,25 \] ### Шаг 2: Упростим уравнение Объединим подобные члены: \[ 1 - 2 \sin^2 x + \sin^2 x = 0,25 \] \[ 1 - \sin^2 x = 0,25 \] ### Шаг 3: Решение относительно \(\sin^2 x\) Вычитая 1 из обеих частей: \[ - \sin^2 x = 0,25 - 1 \] \[ - \sin^2 x = -0,75 \] Умножим обе части на -1: \[ \sin^2 x = 0,75 \] ### Шаг 4: Находим \(\sin x\) \[ \sin x = \pm \sqrt{0,75} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] так как \(\sqrt{0,75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). ### Шаг 5: Общие решения для \(\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\) Значения \(\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\) соответствуют углам: - \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \] - \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \] или, что то же самое: \[ x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, \] где \(n \in \mathbb{Z}\). ### Итоговые решения: \[ \boxed{ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, } \] где \(n \in \mathbb{Z}\). Если нужно более уточненное решение или пояснения — скажите!