Рассмотрим отношение ( R = { (x, y) : 2x + y = 9 } ), где ( x ) и ( y ) — натуральные числа (то есть числа из множества ( \mathbb{N} = {1, 2, 3, \dots}} )).
Задача — описать все упорядоченные пары ( (x, y) ), принадлежащие этому отношению.
Шаг 1. Анализ уравнения
Уравнение у нас:
[ 2x + y = 9 ]
Нам нужно найти все натуральные ( x ) и ( y ), такие что это равенство выполняется.
Шаг 2. Выразим ( y )
Из уравнения:
[ y = 9 - 2x ]
Чтобы пара ( (x, y) ) была в отношении, оба числа должны быть натуральными (от 1 и выше).
Шаг 3. Ограничения на ( x ) и ( y )
- ( x ) — натуральное число, ( x \geq 1 )
- ( y \geq 1 )
Подставим выражение для ( y ):
[ y = 9 - 2x \geq 1 ]
Отсюда:
[ 9 - 2x \geq 1 ]
[ 9 - 1 \geq 2x ]
[ 8 \geq 2x ]
[ x \leq 4 ]
Также, ( x \geq 1 )
Следовательно:
[ x \in {1, 2, 3, 4} ]
Шаг 4. Определим соответствующие ( y )
Для каждого допустимого ( x ):
( x = 1 ):
[ y = 9 - 2(1) = 9 - 2 = 7 ] (натуральное число)
( x = 2 ):
[ y = 9 - 2(2) = 9 - 4 = 5 ]
( x = 3 ):
[ y = 9 - 2(3) = 9 - 6 = 3 ]
( x = 4 ):
[ y = 9 - 2(4) = 9 - 8 = 1 ]
Все полученные ( y ) — натуральные числа, следовательно, все эти пары принадлежат отношению.
Ответ:
Множество пар, принадлежащих отношению ( R ):
[
\boxed{
{ (1,7), (2,5), (3,3), (4,1) }
}
]
Если нужно, я могу помочь объяснить каждое из полученных решений или ответить на дополнительные вопросы!
