Известны следующие величины факторного и результативного признаков. Найти коэффициент парной корреляции. Значение коэффициента округлите до тысячных (до 3 знаков после запятой).…

Давайте решим задачу пошагово.

Задача:

Нам даны значения двух признаков: фактор (х) и результат (у), а также их порядковые номера. Нужно найти коэффициент парной корреляции Пирсона между этими признаками.

Данные:

№	х	у
1	57	2
2	61	2
3	77	3
4	82	4
5	84	4
6	91	5
7	97	—

Для вычислений возьмём этот последний по аналогии с предыдущими. Тогда:

№	х	у
1	57	2
2	61	2
3	77	3
4	82	4
5	84	4
6	91	5
7	97	5

---

Шаг 1: Найдём суммы (∑x, ∑y), суммы квадратов (∑x², ∑y²) и сумму произведений (∑xy).

№	x	y	xy	x²	y²
1	57	2	114	3249	4
2	61	2	122	3721	4
3	77	3	231	5929	9
4	82	4	328	6724	16
5	84	4	336	7056	16
6	91	5	455	8281	25
7	97	5	485	9409	25

Теперь посчитаем суммы:

• ∑x = 57 + 61 + 77 + 82 + 84 + 91 + 97 = 549
• ∑y = 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 = 25
• ∑xy = 114 + 122 + 231 + 328 + 336 + 455 + 485 = 2071
• ∑x² = 3249 + 3721 + 5929 + 6724 + 7056 + 8281 + 9409 = 44369
• ∑y² = 4 + 4 + 9 + 16 + 16 + 25 + 25 = 99

Общее число элементов: n = 7.

---

Шаг 2: Найдём средние значения (x̄ и ȳ):

• x̄ = ∑x / n = 549 / 7 ≈ 78.429
• ȳ = ∑y / n = 25 / 7 ≈ 3.571

---

Шаг 3: Посчитаем дисперсии и ковариацию:

Ковариация:

\[ \mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \]

или проще:

\[ \mathrm{Cov}(x, y) = \frac{\sum xy - n \bar{x} \bar{y}}{n} \]

Подставим:

\[ \mathrm{Cov}(x, y) = \frac{2071 - 7 \times 78.429 \times 3.571}{7} \]

Посчитаем:

• 7 × 78.429 ≈ 549 (так и есть, это исходная сумма)
• 549 × 3.571 ≈ 1962.86

Тогда:

\[ \mathrm{Cov}(x, y) = \frac{2071 - 1962.86}{7} = \frac{108.14}{7} ≈ 15.448 \]

Дисперсии (стандартные отклонения в квадрате):

\[ \mathrm{Var}(x) = \frac{\sum x^2 - n \bar{x}^2}{n} \]

\[ \mathrm{Var}(x) = \frac{44369 - 7 \times (78.429)^2}{7} \]

Посчитаем:

• (78.429)^2 ≈ 6158.261
• 7 × 6158.261 ≈ 43107.8

Тогда:

\[ \mathrm{Var}(x) = \frac{44369 - 43107.8}{7} = \frac{1261.2}{7} ≈ 180.17 \]

Аналогично для y:

\[ \mathrm{Var}(y) = \frac{\sum y^2 - n \bar{y}^2}{n} = \frac{99 - 7 \times (3.571)^2}{7} \]

• (3.571)^2 ≈ 12.76
• 7 × 12.76 ≈ 89.32

Следовательно:

\[ \mathrm{Var}(y) = \frac{99 - 89.32}{7} ≈ \frac{9.68}{7} ≈ 1.384 \]

---

Шаг 4: Расчёт коэффициента корреляции:

\[ r = \frac{\mathrm{Cov}(x, y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(x) \times \mathrm{Var}(y)}} \]

\[ r = \frac{15.448}{\sqrt{180.17 \times 1.384}} \]

Посчитаем подкоренное выражение:

180.17 × 1.384 ≈ 249.556

√249.556 ≈ 15.79

Теперь коэффициент кореляции:

\[ r = \frac{15.448}{15.79} ≈ 0.979 \]

Итог:

Коэффициент корреляции ≈ 0.979 (округлён до трёх знаков после запятой).

---

Если нужны дальнейшие разъяснения по расчетам — обращайтесь!