Давайте решим задачу пошагово.
Задача:
Нам даны значения двух признаков: фактор (х) и результат (у), а также их порядковые номера. Нужно найти коэффициент парной корреляции Пирсона между этими признаками.
Данные:
| № |
х |
у |
| 1 |
57 |
2 |
| 2 |
61 |
2 |
| 3 |
77 |
3 |
| 4 |
82 |
4 |
| 5 |
84 |
4 |
| 6 |
91 |
5 |
| 7 |
97 |
— |
Для вычислений возьмём этот последний по аналогии с предыдущими. Тогда:
| № |
х |
у |
| 1 |
57 |
2 |
| 2 |
61 |
2 |
| 3 |
77 |
3 |
| 4 |
82 |
4 |
| 5 |
84 |
4 |
| 6 |
91 |
5 |
| 7 |
97 |
5 |
Шаг 1: Найдём суммы (∑x, ∑y), суммы квадратов (∑x², ∑y²) и сумму произведений (∑xy).
| № |
x |
y |
xy |
x² |
y² |
| 1 |
57 |
2 |
114 |
3249 |
4 |
| 2 |
61 |
2 |
122 |
3721 |
4 |
| 3 |
77 |
3 |
231 |
5929 |
9 |
| 4 |
82 |
4 |
328 |
6724 |
16 |
| 5 |
84 |
4 |
336 |
7056 |
16 |
| 6 |
91 |
5 |
455 |
8281 |
25 |
| 7 |
97 |
5 |
485 |
9409 |
25 |
Теперь посчитаем суммы:
- ∑x = 57 + 61 + 77 + 82 + 84 + 91 + 97 = 549
- ∑y = 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 = 25
- ∑xy = 114 + 122 + 231 + 328 + 336 + 455 + 485 = 2071
- ∑x² = 3249 + 3721 + 5929 + 6724 + 7056 + 8281 + 9409 = 44369
- ∑y² = 4 + 4 + 9 + 16 + 16 + 25 + 25 = 99
Общее число элементов: n = 7.
Шаг 2: Найдём средние значения (x̄ и ȳ):
- x̄ = ∑x / n = 549 / 7 ≈ 78.429
- ȳ = ∑y / n = 25 / 7 ≈ 3.571
Шаг 3: Посчитаем дисперсии и ковариацию:
Ковариация:
[
\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})
]
или проще:
[
\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{\sum xy - n \bar{x} \bar{y}}{n}
]
Подставим:
[
\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{2071 - 7 \times 78.429 \times 3.571}{7}
]
Посчитаем:
- 7 × 78.429 ≈ 549 (так и есть, это исходная сумма)
- 549 × 3.571 ≈ 1962.86
Тогда:
[
\mathrm{Cov}(x, y) = \frac{2071 - 1962.86}{7} = \frac{108.14}{7} ≈ 15.448
]
Дисперсии (стандартные отклонения в квадрате):
[
\mathrm{Var}(x) = \frac{\sum x^2 - n \bar{x}^2}{n}
]
[
\mathrm{Var}(x) = \frac{44369 - 7 \times (78.429)^2}{7}
]
Посчитаем:
- (78.429)^2 ≈ 6158.261
- 7 × 6158.261 ≈ 43107.8
Тогда:
[
\mathrm{Var}(x) = \frac{44369 - 43107.8}{7} = \frac{1261.2}{7} ≈ 180.17
]
Аналогично для y:
[
\mathrm{Var}(y) = \frac{\sum y^2 - n \bar{y}^2}{n} = \frac{99 - 7 \times (3.571)^2}{7}
]
- (3.571)^2 ≈ 12.76
- 7 × 12.76 ≈ 89.32
Следовательно:
[
\mathrm{Var}(y) = \frac{99 - 89.32}{7} ≈ \frac{9.68}{7} ≈ 1.384
]
Шаг 4: Расчёт коэффициента корреляции:
[
r = \frac{\mathrm{Cov}(x, y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(x) \times \mathrm{Var}(y)}}
]
[
r = \frac{15.448}{\sqrt{180.17 \times 1.384}}
]
Посчитаем подкоренное выражение:
180.17 × 1.384 ≈ 249.556
√249.556 ≈ 15.79
Теперь коэффициент кореляции:
[
r = \frac{15.448}{15.79} ≈ 0.979
]
Итог:
Коэффициент корреляции ≈ 0.979 (округлён до трёх знаков после запятой).
Если нужны дальнейшие разъяснения по расчетам — обращайтесь!
