За 3ч. По течению и 4 ч. Против течения теплоход проходит 380 км. За 1 ч по течению и 30 мин против течения теплоход Проходит 85 км. Найдите собственную скорость теплохода и скорость тесения

Давайте решим задачу пошагово, подробно объясняя каждое действие. #### Дано: 1. За 3 часа по течению и 4 часа против течения теплоход проходит 380 км. 2. За 1 час по течению и 30 минут (0,5 часа) против течения теплоход проходит 85 км. Обозначим: - \( v \) — собственная скорость теплохода (в км/ч), - \( u \) — скорость течения (в км/ч). #### Цели: Найти \( v \) и \( u \). --- ### Шаг 1. Запишем уравнения для каждой ситуации. **По течению**, скорость теплохода — \( v + u \). **Против течения**, скорость — \( v - u \). --- ### Шаг 2. Первое уравнение (по условию — 380 км). Знаем, что теплоход за 3 часа плывет по течению, и за 4 часа — против течения, всего пройдено 380 км. Поскольку за соответствующее время путь равен скорости умноженной на время, запишем: \[ \text{Путь по течению} + \text{Путь против течения} = 380 \] или \[ \text{Путь по течению} = (v + u) \times 3 \] \[ \text{Путь против течения} = (v - u) \times 4 \] Тогда \[ 3(v + u) + 4(v - u) = 380 \] Раскроем скобки: \[ 3v + 3u + 4v - 4u = 380 \] Объединим похожие члены: \[ (3v + 4v) + (3u - 4u) = 380 \] \[ 7v - u = 380 \quad \text{(Уравнение 1)} \] --- ### Шаг 3. Второе уравнение (по условию — 85 км). Знаем, что за 1 час по течению и 0,5 часа против течения теплоход проходит 85 км. Путь по течению: \[ (v + u) \times 1 = v + u \] Путь против течения: \[ (v - u) \times 0,5 = \frac{v - u}{2} \] Общий путь равен сумме: \[ v + u + \frac{v - u}{2} = 85 \] Упростим левую сторону: \[ v + u + \frac{v}{2} - \frac{u}{2} = 85 \] Объединим члены: \[ v + \frac{v}{2} + u - \frac{u}{2} = 85 \] Запишем в общем виде: \[ \left(v + \frac{v}{2}\right) + \left(u - \frac{u}{2}\right) = 85 \] Это: \[ \frac{2v}{2} + \frac{v}{2} + \frac{2u}{2} - \frac{u}{2} = 85 \] или \[ \frac{2v + v}{2} + \frac{2u - u}{2} = 85 \] \[ \frac{3v}{2} + \frac{u}{2} = 85 \] Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 3v + u = 170 \] **Это уравнение 2.** --- ### Шаг 4. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 7v - u = 380 \quad \text{(1)} \\ 3v + u = 170 \quad \text{(2)} \end{cases} \] Добавим уравнения (1) и (2), чтобы избавиться от \( u \): \[ (7v - u) + (3v + u) = 380 + 170 \] \[ 7v + 3v + (- u + u) = 550 \] \[ 10v = 550 \] Отсюда: \[ v = \frac{550}{10} = 55 \] Теперь подставим \( v = 55 \) в уравнение (2): \[ 3 \times 55 + u = 170 \] \[ 165 + u = 170 \] \[ u = 170 - 165 = 5 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Собственная скорость теплохода } v = 55 \text{ км/ч} } \] \[ \boxed{ \text{Скорость течения } u = 5 \text{ км/ч} } \] --- Если нужно, я могу дополнительно объяснить любой шаг.