За 3ч. По течению и 4 ч. Против течения теплоход проходит 380 км. За 1 ч по течению и 30 мин против течения теплоход Проходит 85 км. Найдите собственную скорость теплохода и…

Давайте решим задачу пошагово, подробно объясняя каждое действие.

Дано:

1. За 3 часа по течению и 4 часа против течения теплоход проходит 380 км.
2. За 1 час по течению и 30 минут (0,5 часа) против течения теплоход проходит 85 км.

Обозначим:

• \( v \) — собственная скорость теплохода (в км/ч),
• \( u \) — скорость течения (в км/ч).

Цели:

Найти \( v \) и \( u \).

---

Шаг 1. Запишем уравнения для каждой ситуации.

По течению, скорость теплохода — \( v + u \).

Против течения, скорость — \( v - u \).

---

Шаг 2. Первое уравнение (по условию — 380 км).

Знаем, что теплоход за 3 часа плывет по течению, и за 4 часа — против течения, всего пройдено 380 км.

Поскольку за соответствующее время путь равен скорости умноженной на время, запишем:

\[ \text{Путь по течению} + \text{Путь против течения} = 380 \]

или

\[ \text{Путь по течению} = (v + u) \times 3 \] \[ \text{Путь против течения} = (v - u) \times 4 \]

Тогда

\[ 3(v + u) + 4(v - u) = 380 \]

Раскроем скобки:

\[ 3v + 3u + 4v - 4u = 380 \]

Объединим похожие члены:

\[ (3v + 4v) + (3u - 4u) = 380 \]

\[ 7v - u = 380 \quad \text{(Уравнение 1)} \]

---

Шаг 3. Второе уравнение (по условию — 85 км).

Знаем, что за 1 час по течению и 0,5 часа против течения теплоход проходит 85 км.

Путь по течению:

\[ (v + u) \times 1 = v + u \]

Путь против течения:

\[ (v - u) \times 0,5 = \frac{v - u}{2} \]

Общий путь равен сумме:

\[ v + u + \frac{v - u}{2} = 85 \]

Упростим левую сторону:

\[ v + u + \frac{v}{2} - \frac{u}{2} = 85 \]

Объединим члены:

\[ v + \frac{v}{2} + u - \frac{u}{2} = 85 \]

Запишем в общем виде:

\[ \left(v + \frac{v}{2}\right) + \left(u - \frac{u}{2}\right) = 85 \]

Это:

\[ \frac{2v}{2} + \frac{v}{2} + \frac{2u}{2} - \frac{u}{2} = 85 \]

или

\[ \frac{2v + v}{2} + \frac{2u - u}{2} = 85 \]

\[ \frac{3v}{2} + \frac{u}{2} = 85 \]

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[ 3v + u = 170 \]

Это уравнение 2.

---

Шаг 4. Решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 7v - u = 380 \quad \text{(1)} \\ 3v + u = 170 \quad \text{(2)} \end{cases} \]

Добавим уравнения (1) и (2), чтобы избавиться от \( u \):

\[ (7v - u) + (3v + u) = 380 + 170 \] \[ 7v + 3v + (- u + u) = 550 \] \[ 10v = 550 \]

Отсюда:

\[ v = \frac{550}{10} = 55 \]

Теперь подставим \( v = 55 \) в уравнение (2):

\[ 3 \times 55 + u = 170 \] \[ 165 + u = 170 \] \[ u = 170 - 165 = 5 \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Собственная скорость теплохода } v = 55 \text{ км/ч} } \] \[ \boxed{ \text{Скорость течения } u = 5 \text{ км/ч} } \]

---

Если нужно, я могу дополнительно объяснить любой шаг.