Упрости выражение ( − 2 a 3 b 2 3 a b 3 ) 2 (− 3ab 3 2a 3 b 2 ) 2 и найди его значение при a = 3 , b = 0 , 5 a=3,b=0,5 .
Давайте разберемся с задачей пошагово и упростим выражение.
Выражение дано следующим образом:
\[ \left( -2a^3b^2 \cdot 3ab^3 \right)^2 \left( -3ab^3 \div 2a^3b^2 \right)^2 \]
Обратите внимание, что иногда в исходной формуле могут возникнуть ошибки или неясности, потому что есть несоблюдение порядка операций или неправильное расположение скобок. Предполагаю, что правильное выражение выглядит так:
\[ \left( (-2a^3b^2) \times 3ab^3 \right)^2 \times \left( \frac{-3ab^3}{2a^3b^2} \right)^2 \]
Поясню, что я предполагаю, потому что в задаче возможно неправильное форматирование. Если это не так, уточняйте.
Шаг 1: Упростим первую скобку внутри первого квадрата
\[ (-2a^3b^2) \times 3ab^3 \]
Перемножим коэффициенты и степени одинаковых переменных отдельно:
- Коэффициенты: \(-2 \times 3 = -6\)
- Переменные: \(a^3 \times a = a^{3+1} = a^4\)
- Переменные: \(b^2 \times b^3 = b^{2+3} = b^5\)
Получаем: \[ -6a^4b^5 \]
Это значение внутри первого квадрата.
Шаг 2: Возводим в квадрат
\[ \left( -6a^4b^5 \right)^2 = (-6)^2 \times (a^4)^2 \times (b^5)^2 \]
- \((-6)^2 = 36\)
- \((a^4)^2 = a^{4 \times 2} = a^{8}\)
- \((b^5)^2 = b^{5 \times 2} = b^{10}\)
Итог: \[ 36a^{8}b^{10} \]
Шаг 3: Упростим вторую скобку внутри второго квадрата
\[ \frac{-3ab^3}{2a^3b^2} \]
Делим числитель на знаменатель, разделяя степени:
- Коэффициенты: \(-3 / 2 = -\frac{3}{2}\)
- Переменные \(a\): \(a / a^3 = a^{1-3} = a^{-2}\)
- Переменные \(b\): \(b^3 / b^2 = b^{3-2} = b^{1} = b\)
Итак: \[ -\frac{3}{2} a^{-2} b \]
Шаг 4: Возводим это в квадрат
\[ \left( -\frac{3}{2} a^{-2} b \right)^2 = \left( -\frac{3}{2} \right)^2 \times a^{-2 \times 2} \times b^{1 \times 2} \]
- \(\left( -\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}\)
- \(a^{-4}\)
- \(b^2\)
Итог: \[ \frac{9}{4} a^{-4} b^2 \]
Шаг 5: Перемножим обе части
Самое главное, что у нас два выражения, возведённые в квадрат:
\[ \text{Итак, выражение равно:} \quad \left(36a^{8}b^{10}\right) \times \left(\frac{9}{4} a^{-4} b^{2}\right) \]
Объединим это:
\[ 36 \times \frac{9}{4} \times a^{8} \times a^{-4} \times b^{10} \times b^{2} \]
- Коэффициенты: \(36 \times \frac{9}{4} = (36 \div 4) \times 9 = 9 \times 9 = 81\)
- \(a^{8} \times a^{-4} = a^{8 + (-4)} = a^{4}\)
- \(b^{10} \times b^{2} = b^{10 + 2} = b^{12}\)
Итак, окончательное упрощенное выражение: \[ 81 a^{4} b^{12} \]
Шаг 6: Подставим значения \(a = 3\), \(b = 0,5\):
\[ 81 \times 3^{4} \times (0,5)^{12} \]
- \(3^{4} = 81\)
- \((0,5)^{12}\): Можно переписать как \((\frac{1}{2})^{12} = \frac{1^{12}}{2^{12}} = \frac{1}{4096}\)
Теперь посчитаем:
\[ 81 \times 81 \times \frac{1}{4096} = (81 \times 81) \div 4096 \]
\[ 81 \times 81 = 6561 \]
Значит:
\[ \frac{6561}{4096} \]
Это точный ответ в дробях.
Итог:
Упрощенное выражение:
\[ \boxed{81a^{4}b^{12}} \]
Значение при \(a=3\), \(b=0.5\):
\[ \boxed{\frac{6561}{4096}} \]
или в десятичной форме:
\[ 6561 \div 4096 \approx 1.601 \]
Если вам нужно более точное объяснение или помощь, — пишите!
