Окружность с радиусом 8,3 см вписана в прямоугольный треугольник. Найди периметр треугольника, если точка касания QQ делит гипотенузу на отрезки, равные 14,9 и 8 см. Вырази ответ…

Давайте подробно разберем задачу и шаг за шагом найдем периметр треугольника.

Дано:

• Радиус вписанной окружности \( r = 8{,}3 \) см
• Вписана в прямоугольный треугольник
• Точка касания \( Q \) делит гипотенузу \( AB \) на отрезки длиной \( 14{,}9 \) см и \( 8 \) см

Обозначим:

• \( A \), \( B \) — концы гипотенузы
• \( Q \) — точка касания окружности с гипотенузой \( AB \)

---

Шаг 1: Обозначим длину гипотенузы

Пусть гипотенуза \( AB \) делится точкой \( Q \): \[ AQ = 14{,}9 \quad\text{и}\quad QB = 8 \] Тогда: \[ AB = AQ + QB = 14{,}9 + 8 = 22{,}9 \text{ см} \]

---

Шаг 2: Связь длины гипотенузы с радиусом

Для вписанного окружности в прямоугольный треугольник есть важное свойство: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \)— гипотенуза.

Но в данной задаче важнее то, что радиус окружности равен 8,3 см, и точка касания делит гипотенузу.

---

Шаг 3: Умение relate касание окружности гипотенузе

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности с гипотенузой разделяет гипотенузу на два отрезка, которые связаны с катетами по формуле:

Если обозначить:

• \( p = \) половина гипотенузы (то есть \( AB/2 \))
• \( s = \) периметр треугольника

Тогда длины отрезков \( AQ \) и \( QB \), деленные точкой касания, связаны с радиусом как:

\[ AQ = s - b, \quad QB = s - a \] где \( a, b \)— катеты.

Но, более универсально, в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности задается через формулу:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

И длины деления гипотенузы связаны также с длинами катетов и периметром.

---

Шаг 4: Использование свойства деления гипотенузы точкой касания

В прямоугольном треугольнике точка касания окружности делит гипотенузу на отрезки, связанные с катетами:

\[ AQ = s - b, \quad QB = s - a \] где \( s \) — полупериметр треугольника.

Дано: \[ AQ = 14{,}9 \] \[ QB = 8 \]

Тогда: \[ 14{,}9 = s - b \] \[ 8 = s - a \]

Выразим \( a \) и \( b \):

\[ a = s - 8 \] \[ b = s - 14{,}9 \]

---

Шаг 5: Найдем \( c \) — гипотенузу

Поскольку \( c = 22{,}9 \), то:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Подставим \( a \) и \( b \):

\[ (s - 8)^2 + (s - 14{,}9)^2 = (22{,}9)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ (s^2 - 16 s + 64) + (s^2 - 2 \times 14{,}9 s + (14{,}9)^2) = (22{,}9)^2 \] \[ s^2 - 16 s + 64 + s^2 - 29.8 s + 222.01 = 524.41 \]

Объединим:

\[ 2 s^2 - 45.8 s + (64 + 222.01) = 524.41 \] \[ 2 s^2 - 45.8 s + 286.01 = 524.41 \]

Переносим всё в левую сторону:

\[ 2 s^2 - 45.8 s + 286.01 - 524.41 = 0 \] \[ 2 s^2 - 45.8 s - 238.4 = 0 \]

Разделим всё на 2:

\[ s^2 - 22.9 s - 119.2 = 0 \]

---

Шаг 6: Решение квадратичного уравнения

Решим уравнение:

\[ s^2 - 22.9 s - 119.2 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = (22.9)^2 - 4 \times 1 \times (-119.2) = 524.41 + 476.8 = 1001.21 \]

Корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} \approx 31.65 \]

Найдем \( s \):

\[ s = \frac{22.9 \pm 31.65}{2} \]

Положительный вариант:

\[ s = \frac{22.9 + 31.65}{2} = \frac{54.55}{2} \approx 27.275 \]

Отрицательный не имеет смысла, так как это длина.

---

Шаг 7: Найти катеты \( a \) и \( b \)

\[ a = s - 8 \approx 27.275 - 8 = 19.275 \] \[ b = s - 14.9 \approx 27.275 - 14.9 = 12.375 \]

---

Шаг 8: Проверка гипотенузы

Проверка с помощью теоремы Пифагора:

\[ a^2 + b^2 \approx (19.275)^2 + (12.375)^2 \approx 371.7 + 152.9 \approx 524.6 \] \[ c^2 = (22.9)^2 \approx 524.4 \] Что очень близко, значит расчет правильный.

---

Шаг 9: Периметр треугольника

\[ P = a + b + c \approx 19.275 + 12.375 + 22.9 \approx 54.55 \]

---

Итог:

Периметр треугольника примерно равен \(\boxed{54.55}\) см.