Окружность с радиусом 8,3 см вписана в прямоугольный треугольник. Найди периметр треугольника, если точка касания QQ делит гипотенузу на отрезки, равные 14,9 и 8 см. Вырази ответ в см.

Давайте подробно разберем задачу и шаг за шагом найдем периметр треугольника. **Дано:** - Радиус вписанной окружности \( r = 8{,}3 \) см - Вписана в прямоугольный треугольник - Точка касания \( Q \) делит гипотенузу \( AB \) на отрезки длиной \( 14{,}9 \) см и \( 8 \) см Обозначим: - \( A \), \( B \) — концы гипотенузы - \( Q \) — точка касания окружности с гипотенузой \( AB \) --- ### Шаг 1: Обозначим длину гипотенузы Пусть гипотенуза \( AB \) делится точкой \( Q \): \[ AQ = 14{,}9 \quad\text{и}\quad QB = 8 \] Тогда: \[ AB = AQ + QB = 14{,}9 + 8 = 22{,}9 \text{ см} \] --- ### Шаг 2: Связь длины гипотенузы с радиусом Для вписанного окружности в прямоугольный треугольник есть важное свойство: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \)— гипотенуза. Но в данной задаче важнее то, что радиус окружности равен 8,3 см, и точка касания делит гипотенузу. --- ### Шаг 3: Умение relate касание окружности гипотенузе В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности с гипотенузой разделяет гипотенузу на два отрезка, которые связаны с катетами по формуле: Если обозначить: - \( p = \) половина гипотенузы (то есть \( AB/2 \)) - \( s = \) периметр треугольника Тогда длины отрезков \( AQ \) и \( QB \), деленные точкой касания, связаны с радиусом как: \[ AQ = s - b, \quad QB = s - a \] где \( a, b \)— катеты. Но, более универсально, в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности задается через формулу: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] И длины деления гипотенузы связаны также с длинами катетов и периметром. --- ### Шаг 4: Использование свойства деления гипотенузы точкой касания В прямоугольном треугольнике точка касания окружности делит гипотенузу на отрезки, связанные с катетами: \[ AQ = s - b, \quad QB = s - a \] где \( s \) — полупериметр треугольника. Дано: \[ AQ = 14{,}9 \] \[ QB = 8 \] Тогда: \[ 14{,}9 = s - b \] \[ 8 = s - a \] Выразим \( a \) и \( b \): \[ a = s - 8 \] \[ b = s - 14{,}9 \] --- ### Шаг 5: Найдем \( c \) — гипотенузу Поскольку \( c = 22{,}9 \), то: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставим \( a \) и \( b \): \[ (s - 8)^2 + (s - 14{,}9)^2 = (22{,}9)^2 \] Раскроем скобки: \[ (s^2 - 16 s + 64) + (s^2 - 2 \times 14{,}9 s + (14{,}9)^2) = (22{,}9)^2 \] \[ s^2 - 16 s + 64 + s^2 - 29.8 s + 222.01 = 524.41 \] Объединим: \[ 2 s^2 - 45.8 s + (64 + 222.01) = 524.41 \] \[ 2 s^2 - 45.8 s + 286.01 = 524.41 \] Переносим всё в левую сторону: \[ 2 s^2 - 45.8 s + 286.01 - 524.41 = 0 \] \[ 2 s^2 - 45.8 s - 238.4 = 0 \] Разделим всё на 2: \[ s^2 - 22.9 s - 119.2 = 0 \] --- ### Шаг 6: Решение квадратичного уравнения Решим уравнение: \[ s^2 - 22.9 s - 119.2 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (22.9)^2 - 4 \times 1 \times (-119.2) = 524.41 + 476.8 = 1001.21 \] Корень из дискриминанта: \[ \sqrt{D} \approx 31.65 \] Найдем \( s \): \[ s = \frac{22.9 \pm 31.65}{2} \] Положительный вариант: \[ s = \frac{22.9 + 31.65}{2} = \frac{54.55}{2} \approx 27.275 \] Отрицательный не имеет смысла, так как это длина. --- ### Шаг 7: Найти катеты \( a \) и \( b \) \[ a = s - 8 \approx 27.275 - 8 = 19.275 \] \[ b = s - 14.9 \approx 27.275 - 14.9 = 12.375 \] --- ### **Шаг 8: Проверка гипотенузы** Проверка с помощью теоремы Пифагора: \[ a^2 + b^2 \approx (19.275)^2 + (12.375)^2 \approx 371.7 + 152.9 \approx 524.6 \] \[ c^2 = (22.9)^2 \approx 524.4 \] Что очень близко, значит расчет правильный. --- ### **Шаг 9: Периметр треугольника** \[ P = a + b + c \approx 19.275 + 12.375 + 22.9 \approx 54.55 \] --- ## Итог: **Периметр треугольника примерно равен \(\boxed{54.55}\) см.**