Реши

Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом. **Дано:** - Два круга с радиусами \( R_1 = 4 \) и \( R_2 = 3 \), центры которых находятся в точках \( O_1 \) и \( O_2 \). - Эти круги касаются в точках \( M_1 \) и \( M_2 \) соответственно, и при этом касаются одной и той же прямой. - Отношение отрезков \( M_1 M_2 : O_1 O_2 = \sqrt{3} : 2 \). **Требуется найти:** расстояние \( O_1 O_2 \). --- ### Шаг 1. Восприятие задачи - Два круга касаются прямой, каждый в своей точке касания. - Точки касания это точки \( M_1 \) и \( M_2 \). - Центры и точки касания лежат на одной прямой — это характерно для касания круга к прямой. --- ### Шаг 2. Построение схемы - Пусть \( O_1 \), \( O_2 \) — центры кругов; - \( R_1 = 4 \), \( R_2 = 3 \); - \( M_1 \), \( M_2 \) — точки касания, на одной прямой с центрами. Так как круги касаются прямой, то: - Центр каждого круга лежит на линии, перпендикулярной к касательной (прямой); - Расстояние от центра до касательной равно радиусу. --- ### Шаг 3. Анализ взаимного положения - Пусть \( O_1 \), \( O_2 \) лежат на одной прямой, которая перпендикулярна касательной. - Пусть \( O_1 O_2 = d \); - Тогда точки касания \( M_1 \) и \( M_2 \) лежат на этой же линии, на расстоянии \( R_1 \) и \( R_2 \) от соответствующих центров. Обозначим: - \( M_1 \) — касательная точка для круга с центром \( O_1 \), - \( M_2 \) — касательная точка для второго круга. --- ### Шаг 4. Использованиеотношения отрезков Дано: \[ M_1 M_2 : O_1 O_2 = \sqrt{3} : 2 \] Обозначим \( O_1 O_2 = d \) — искомое. Отрезок \( M_1 M_2 \) по сути, это расстояние между двумя точками касания, лежащими на одной линии. Расстояние \( M_1 M_2 \) равно абсолютной разнице между точками касания: \[ |x_{M_2} - x_{M_1}| \] Поскольку точки касания лежат в линию между центрами, то: \[ |x_{M_2} - x_{M_1}| = |(x_{O_2} \pm R_2) - (x_{O_1} \pm R_1)| \] --- ### Шаг 5. Важное замечание - Так как оба круга касаются одной линии, то точки касания \( M_1 \) и \( M_2 \) находятся на расстоянии радиусов от центров. - Тогда расстояние между точками касания равно: \[ |x_{O_2} \pm R_2 - (x_{O_1} \pm R_1)|, \] где всё зависит от положения относительно прямой. Рассмотрим: оба центра лежат на одной прямой, расстояние между ними — \( d \). Тогда: \[ M_1 M_2 = |x_{M_2} - x_{M_1}| = |d \pm R_2 \mp R_1| \] зависит от ориентации. --- ### Шаг 6. Итоговая формула и решение - Поскольку касательные точки находятся на одной линии, расстояние \( M_1 M_2 \): \[ M_1 M_2 = d - R_1 - R_2, \] если точки расположены по одну сторону от центров. Используя отношение: \[ \frac{M_1 M_2}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] или \[ \frac{d - R_1 - R_2}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Подставляем \( R_1=4 \), \( R_2=3 \): \[ \frac{d - 4 - 3}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Итак: \[ \frac{d - 7}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] --- ### Шаг 7. Решение уравнения Переносим: \[ d - 7 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot d. \] Переносим все в левую часть: \[ d - \frac{\sqrt{3}}{2} d = 7, \] \[ d \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 7. \] Выражение в скобках: \[ 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}. \] Тогда: \[ d \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = 7, \] \[ d = \frac{7 \cdot 2}{2 - \sqrt{3}}. \] --- ### Шаг 8. Упростим выражение Обратим внимание: \[ d = \frac{14}{2 - \sqrt{3}}. \] Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на сопряжение \( 2 + \sqrt{3} \): \[ d= \frac{14(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}. \] Знаменатель — разность квадратов: \[ (2)^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1. \] Итак: \[ d= 14 (2 + \sqrt{3}). \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ O_1 O_2 = d = 14 (2 + \sqrt{3}). } \] Это и есть искомное расстояние между центрами двух кругов.