Реши
Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.
Дано:
- Два круга с радиусами \( R_1 = 4 \) и \( R_2 = 3 \), центры которых находятся в точках \( O_1 \) и \( O_2 \).
- Эти круги касаются в точках \( M_1 \) и \( M_2 \) соответственно, и при этом касаются одной и той же прямой.
- Отношение отрезков \( M_1 M_2 : O_1 O_2 = \sqrt{3} : 2 \).
Требуется найти: расстояние \( O_1 O_2 \).
Шаг 1. Восприятие задачи
- Два круга касаются прямой, каждый в своей точке касания.
- Точки касания это точки \( M_1 \) и \( M_2 \).
- Центры и точки касания лежат на одной прямой — это характерно для касания круга к прямой.
Шаг 2. Построение схемы
- Пусть \( O_1 \), \( O_2 \) — центры кругов;
- \( R_1 = 4 \), \( R_2 = 3 \);
- \( M_1 \), \( M_2 \) — точки касания, на одной прямой с центрами.
Так как круги касаются прямой, то:
- Центр каждого круга лежит на линии, перпендикулярной к касательной (прямой);
- Расстояние от центра до касательной равно радиусу.
Шаг 3. Анализ взаимного положения
- Пусть \( O_1 \), \( O_2 \) лежат на одной прямой, которая перпендикулярна касательной.
- Пусть \( O_1 O_2 = d \);
- Тогда точки касания \( M_1 \) и \( M_2 \) лежат на этой же линии, на расстоянии \( R_1 \) и \( R_2 \) от соответствующих центров.
Обозначим:
- \( M_1 \) — касательная точка для круга с центром \( O_1 \),
- \( M_2 \) — касательная точка для второго круга.
Шаг 4. Использованиеотношения отрезков
Дано: \[ M_1 M_2 : O_1 O_2 = \sqrt{3} : 2 \]
Обозначим \( O_1 O_2 = d \) — искомое.
Отрезок \( M_1 M_2 \) по сути, это расстояние между двумя точками касания, лежащими на одной линии.
Расстояние \( M_1 M_2 \) равно абсолютной разнице между точками касания: \[ |x_{M_2} - x_{M_1}| \]
Поскольку точки касания лежат в линию между центрами, то: \[ |x_{M_2} - x_{M_1}| = |(x_{O_2} \pm R_2) - (x_{O_1} \pm R_1)| \]
Шаг 5. Важное замечание
- Так как оба круга касаются одной линии, то точки касания \( M_1 \) и \( M_2 \) находятся на расстоянии радиусов от центров.
- Тогда расстояние между точками касания равно: \[ |x_{O_2} \pm R_2 - (x_{O_1} \pm R_1)|, \] где всё зависит от положения относительно прямой.
Рассмотрим: оба центра лежат на одной прямой, расстояние между ними — \( d \). Тогда: \[ M_1 M_2 = |x_{M_2} - x_{M_1}| = |d \pm R_2 \mp R_1| \] зависит от ориентации.
Шаг 6. Итоговая формула и решение
- Поскольку касательные точки находятся на одной линии, расстояние \( M_1 M_2 \): \[ M_1 M_2 = d - R_1 - R_2, \] если точки расположены по одну сторону от центров.
Используя отношение: \[ \frac{M_1 M_2}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] или \[ \frac{d - R_1 - R_2}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]
Подставляем \( R_1=4 \), \( R_2=3 \): \[ \frac{d - 4 - 3}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Итак: \[ \frac{d - 7}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \]
Шаг 7. Решение уравнения
Переносим: \[ d - 7 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot d. \]
Переносим все в левую часть: \[ d - \frac{\sqrt{3}}{2} d = 7, \] \[ d \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 7. \]
Выражение в скобках: \[ 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}. \]
Тогда: \[ d \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = 7, \] \[ d = \frac{7 \cdot 2}{2 - \sqrt{3}}. \]
Шаг 8. Упростим выражение
Обратим внимание: \[ d = \frac{14}{2 - \sqrt{3}}. \]
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на сопряжение \( 2 + \sqrt{3} \):
\[ d= \frac{14(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}. \]
Знаменатель — разность квадратов: \[ (2)^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1. \]
Итак: \[ d= 14 (2 + \sqrt{3}). \]
Ответ:
\[ \boxed{ O_1 O_2 = d = 14 (2 + \sqrt{3}). } \]
Это и есть искомное расстояние между центрами двух кругов.
