1 - 7(3-х)/х²-8х + 15 < 0, 4 - х > 0 Найдите сумму целых решений системы неравенств

Давайте пошагово решим данную систему неравенств и найдём сумму целых решений. Задача: 1) \[\frac{1 - 7(3 - x)}{x^2 - 8x + 15} < 0\] 2) \[4 - x > 0\] --- ### Шаг 1. Решение второго неравенства: \(4 - x > 0\) - Перенесем \(x\): \[ x < 4 \] Это условие ограничивает возможные значения \(x\) — только целые числа меньше 4. --- ### Шаг 2. Упростим первое неравенство Запишем: \[ \frac{1 - 7(3 - x)}{x^2 - 8x + 15} < 0 \] Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно. **Числитель:** \[ 1 - 7(3 - x) = 1 - 21 + 7x = (7x - 20) \] **Знаменатель:** \(x^2 - 8x + 15\) Рассмотрим это выражение — оно квадратическое. Разложим на множители: \[ x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5) \] --- ### Шаг 3. Обозначим: \[ \frac{7x - 20}{(x - 3)(x - 5)} < 0 \] Нас интересует, когда эта дробь меньше нуля (отрицательна). ### Шаг 4. Найдём нули числителя и знаменателя - числитель = 0, если \(7x - 20 = 0 \Rightarrow x = \frac{20}{7} \approx 2.857\) - знаменатель = 0, если \(x = 3\) или \(x = 5\) Области определения: - исключаем \(x = 3\), \(x = 5\) --- ### Шаг 5. Анализ знаков числителя и знаменателя - числитель \(7x - 20\): - отрицателен, если \(x < \frac{20}{7}\) (меньше 2.857) - положителен, если \(x > 2.857\) - знаменатель \((x-3)(x-5)\): - меняет знак на точках \(x=3\) и \(x=5\) - для \(x < 3\), оба множителя отрицательны, значит произведение положительно - для \(3 < x < 5\), один множитель положителен, другой отрицателен, значит произведение отрицательно - для \(x > 5\), оба положительны, произведение положительно --- ### Шаг 6. Таблица знаков Области: \((-\infty, 3)\), \((3, 5)\), \((5, +\infty)\) | Интервал | \(7x - 20\) | \((x-3)(x-5)\) | Дробь | Мнение о знаке | |------------------------------|--------------|----------------|-------------------------|--------------| | \(-\infty, 2.857\) | отрицателен | положительно | отрицательное / положительное — подробнее| зависит от произведения | | \((2.857, 3)\) | положителен | положительно | положительное | | | \((3, 5)\) | положителен | отрицательно | отрицательное | | | \((5, +\infty)\) | положителен | положительно | положительное | | Важно! В районе \(x = 3\) и \(x=5\) дробь неопределена (не существует), исключаем эти точки. --- ### Шаг 7. Определение решения неравенства \(\frac{7x -20}{(x - 3)(x - 5)} < 0\) Ищем, когда дробь отрицательна: Рассмотрим [числитель], [знаменатель]: - \(\frac{(+) }{(-)} < 0\) — дробь отрицательна - \(\frac{(-)}{(+)} < 0\) — дробь отрицательна Значит, дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Области, где дробь < 0: 1. \(x < 2.857\), числитель отрицателен. - В этом случае: - \(x < 2.857\), числитель отрицателен - знаменатель — зависит от интервала: - \(x < 3\), значит знаменатель положителен Итак, для \(x < 2.857\), дробь отрицательна (так как отрицательна числитель и положителен знаменатель). 2. \(3 < x < 5\), знаменатель отрицателен (один множитель — положителен, другой отрицателен). - числитель \(7x -20\): - для \(3 < x < 5\), \(7x -20\): - в точках \(x=3\), \(7*3 -20=1\), положительно - в точке \(x=2.857\), чуть меньше - при \(x=3\), числитель равен \(7*3 - 20=1\), - Для \(x \to 3^{+}\), числитель также положителен. - В интервале \(3 < x < 5\), \(7x -20 > 0\) (повышается) Тогда: - числитель положителен - знаменатель отрицателен → дробь будет отрицательна. Итак, **решение** — \(x \in (-\infty, 2.857) \cup (3, 5)\). --- ### Шаг 8. Учитываем условие \(x < 4\) Из второго неравенства: \[ x < 4 \] Объединяем с предыдущими: - \(x \in (-\infty, 2.857)\) или \(x \in (3, 5)\) Но приходится учитывать дополнительно: - \(\frac{7x - 20}{(x-3)(x-5)}<0\) Области, удовлетворяющие обоим условиям: - интервалы, где \(x < 4\) Для первого интервала: \[ x \in (-\infty, 2.857) \] - он полностью входит в \(x < 4\). Для второго интервала: \[ x \in (3, 5)\) с учетом \(x<4\), ограничиваем до: \[ x \in (3, 4) \] Также исключаем точки \(x=3\) и \(x=5\). --- ### Шаг 9. Итоговые решения интервалы: \(x \in (-\infty, 2.857)\) и \(x \in (3, 4)\) Целые значения \(x\): - из \((-\infty, 2.857)\): Целые \(x\): \(-\infty, \dots, 2\) → \(x = \dots, -1, 0, 1, 2\) - из \((3, 4)\): Целые только \(x=3\) (но в интервале \(3,4\), исключая саму точку 3). - Так как \(\frac{7x-20}{(x-3)(x-5)}\) не определена в \(x=3\), то 3 — исключено. ### Итоговые целые решения: \[ x= -1, 0, 1, 2 \] --- ### **Ответ:** Найдём сумму всех целых решений: \[ -1 + 0 + 1 + 2 = 2 \] --- ## Итлю: **Сумма целых решений системы равна \(\boxed{2}\).**