1 - 7(3-х)/х²-8х + 15 < 0, 4 - х > 0 Найдите сумму целых решений системы неравенств
Давайте пошагово решим данную систему неравенств и найдём сумму целых решений.
Задача:
\[\frac{1 - 7(3 - x)}{x^2 - 8x + 15} < 0\]
\[4 - x > 0\]
Шаг 1. Решение второго неравенства: \(4 - x > 0\)
- Перенесем \(x\):
\[ x < 4 \]
Это условие ограничивает возможные значения \(x\) — только целые числа меньше 4.
Шаг 2. Упростим первое неравенство
Запишем:
\[ \frac{1 - 7(3 - x)}{x^2 - 8x + 15} < 0 \]
Рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.
Числитель:
\[ 1 - 7(3 - x) = 1 - 21 + 7x = (7x - 20) \]
Знаменатель:
\(x^2 - 8x + 15\)
Рассмотрим это выражение — оно квадратическое. Разложим на множители:
\[ x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5) \]
Шаг 3. Обозначим:
\[ \frac{7x - 20}{(x - 3)(x - 5)} < 0 \]
Нас интересует, когда эта дробь меньше нуля (отрицательна).
Шаг 4. Найдём нули числителя и знаменателя
- числитель = 0, если \(7x - 20 = 0 \Rightarrow x = \frac{20}{7} \approx 2.857\)
- знаменатель = 0, если \(x = 3\) или \(x = 5\)
Области определения:
- исключаем \(x = 3\), \(x = 5\)
Шаг 5. Анализ знаков числителя и знаменателя
числитель \(7x - 20\):
- отрицателен, если \(x < \frac{20}{7}\) (меньше 2.857)
- положителен, если \(x > 2.857\)
знаменатель \((x-3)(x-5)\):
- меняет знак на точках \(x=3\) и \(x=5\)
- для \(x < 3\), оба множителя отрицательны, значит произведение положительно
- для \(3 < x < 5\), один множитель положителен, другой отрицателен, значит произведение отрицательно
- для \(x > 5\), оба положительны, произведение положительно
Шаг 6. Таблица знаков
Области: \((-\infty, 3)\), \((3, 5)\), \((5, +\infty)\)
| Интервал | \(7x - 20\) | \((x-3)(x-5)\) | Дробь | Мнение о знаке |
|---|---|---|---|---|
| \(-\infty, 2.857\) | отрицателен | положительно | отрицательное / положительное — подробнее | зависит от произведения |
| \((2.857, 3)\) | положителен | положительно | положительное | |
| \((3, 5)\) | положителен | отрицательно | отрицательное | |
| \((5, +\infty)\) | положителен | положительно | положительное |
Важно! В районе \(x = 3\) и \(x=5\) дробь неопределена (не существует), исключаем эти точки.
Шаг 7. Определение решения неравенства \(\frac{7x -20}{(x - 3)(x - 5)} < 0\)
Ищем, когда дробь отрицательна:
Рассмотрим [числитель], [знаменатель]:
- \(\frac{(+) }{(-)} < 0\) — дробь отрицательна
- \(\frac{(-)}{(+)} < 0\) — дробь отрицательна
Значит, дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.
Области, где дробь < 0:
\(x < 2.857\), числитель отрицателен.
- В этом случае:
- \(x < 2.857\), числитель отрицателен
- знаменатель — зависит от интервала:
- \(x < 3\), значит знаменатель положителен
Итак, для \(x < 2.857\), дробь отрицательна (так как отрицательна числитель и положителен знаменатель).
- В этом случае:
\(3 < x < 5\), знаменатель отрицателен (один множитель — положителен, другой отрицателен).
числитель \(7x -20\):
- для \(3 < x < 5\), \(7x -20\):
- в точках \(x=3\), \(7*3 -20=1\), положительно
- в точке \(x=2.857\), чуть меньше
- при \(x=3\), числитель равен \(7*3 - 20=1\),
- Для \(x \to 3^{+}\), числитель также положителен.
- для \(3 < x < 5\), \(7x -20\):
В интервале \(3 < x < 5\), \(7x -20 > 0\) (повышается)
Тогда:
- числитель положителен
- знаменатель отрицателен
→ дробь будет отрицательна.
Итак, решение — \(x \in (-\infty, 2.857) \cup (3, 5)\).
Шаг 8. Учитываем условие \(x < 4\)
Из второго неравенства:
\[ x < 4 \]
Объединяем с предыдущими:
- \(x \in (-\infty, 2.857)\) или \(x \in (3, 5)\)
Но приходится учитывать дополнительно:
- \(\frac{7x - 20}{(x-3)(x-5)}<0\)
Области, удовлетворяющие обоим условиям:
- интервалы, где \(x < 4\)
Для первого интервала:
\[ x \in (-\infty, 2.857) \]
- он полностью входит в \(x < 4\).
Для второго интервала:
\[ x \in (3, 5)\) с учетом \(x<4\), ограничиваем до: \[ x \in (3, 4) \]
Также исключаем точки \(x=3\) и \(x=5\).
Шаг 9. Итоговые решения
интервалы: \(x \in (-\infty, 2.857)\) и \(x \in (3, 4)\)
Целые значения \(x\):
из \((-\infty, 2.857)\):
Целые \(x\):
\(-\infty, \dots, 2\)
→ \(x = \dots, -1, 0, 1, 2\)
из \((3, 4)\):
Целые только \(x=3\) (но в интервале \(3,4\), исключая саму точку 3).
- Так как \(\frac{7x-20}{(x-3)(x-5)}\) не определена в \(x=3\), то 3 — исключено.
Итоговые целые решения:
\[ x= -1, 0, 1, 2 \]
Ответ:
Найдём сумму всех целых решений:
\[ -1 + 0 + 1 + 2 = 2 \]
Итлю:
Сумма целых решений системы равна \(\boxed{2}\).
