Дана функция y = In.x + Выберите верные утверждения в отношении этой функции. Функция возрастает на промежутке 1; +∞o) Функция убывает на промежутке (-00;1] Функция убывает на…

Давайте подробно разберем данную функцию и каждое из утверждений, чтобы понять, какие из них верны.

---

Заданная функция:
\[ y = \ln x \]

Общие свойства этой функции:

• Область определения: \( (0, +\infty) \) (логарифм определен только для положительных чисел)
• Производная: \[ y' = \frac{1}{x} \]

---

Анализ свойств функции и утверждений:

1. Функция возрастает или убывает?

• Производная: \( y' = \frac{1}{x} \)

• Для \( x > 0 \), \( y' > 0 \).
  Это означает, что функция возрастает на всей своей области определения.

---

Постановка вопроса в утверждениях

Правильное утверждение:

"Функция возрастает на промежутке \( (1; +\infty) \)"

Но и для всей области определения \( (0; +\infty) \), поскольку \( y' > 0 \) везде.

---

Анализ утверждений:

1. "Функция возрастает на промежутке \( (1; +\infty) \)"

• Это верное утверждение, функция возрастает там.

2. "Функция убывает на промежутке \( (-\infty; 1] \)"

• Неверное, потому что \( y' > 0 \) для всех \( x > 0 \), то есть функция возрастает, а не убывает.

3. "Функция убывает на промежутках \( (-\infty; 0) \cup (0; 1] \)"

• Неверно, так как функция определена только для \( x > 0 \).

4. "Функция возрастает на промежутке \( (1; +\infty) \)"

• Уже сказано, верное.

5. "Функция определена на промежутке \( (0; +\infty) \)"

• Верно, так как логарифм определен там.

6. "Функция определена на промежутке \( (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \)"

• Неверно, поскольку определена только на \( (0; +\infty) \).

7. "Функция имеет экстремумы при \( x=0 \) и \( x=1 \)"

• Неверно.
• В точке \( x=0 \) функция не определена, экстремум там невозможен.
• Для экстремума необходимо найти точки, где \( y' = 0 \), но \( y' = \frac{1}{x} \neq 0 \), так как не существует \( x \neq \infty \), для которого \( y' = 0 \).

8. "Функция имеет экстремум при \( x=0 \)"

• Неверно, так как \( x=0 \) не входит в область определения.

9. "Функция имеет экстремум при \( x=1 \)"

• \( y' = \frac{1}{x} \neq 0 \), значит экстремум не в этой точке.

10. "X=1 — точка максимума"

• Неверно, так как \( y' > 0 \), функция возрастает. Точка \( x=1 \) — обычная точка, где меняется наклон (кусается), но не максимум.

---

Итоговые правильные утверждения:

• Функция возрастает на промежутке \( (1; +\infty) \)
• Функция определена на промежутке \( (0; +\infty) \)

---

Если нужно более подробно, я готов ответить!