Дана функция y = In.x + 1/x Выберите верные утверждения в отношении этой функции. Функция возрастает на промежутке 1; +∞o) Функция убывает на промежутке (-00;1] Функция убывает на…

Рассмотрим функцию:
\[ y = \ln x + \frac{1}{x} \]

Цель — понять характеристики функции, определить промежутки возрастания и убывания, а также наличие экстремумов.

Шаг 1: Область определения функции

• \(\ln x\) определено при \(x > 0\)
• \(\frac{1}{x}\) тоже определено при \(x \neq 0\)

Следовательно, функция определена на промежутке \(\boxed{(0, +\infty)}\). Это соответствует утверждению:
"Функция определена на промежутке (0; +∞)" — верно.

Шаг 2: Найдём первую производную \(y'\)

\[ y' = \frac{d}{dx} \left(\ln x + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \]

Объединим в одну дробь:

\[ y' = \frac{x - 1}{x^2} \]

Шаг 3: Анализ знака производной

• \(y' > 0\) при \(x > 1\) (т.к. числитель \(x - 1 > 0\))
• \(y' < 0\) при \(0 < x < 1\) (числитель \(x - 1 < 0\))
• В точке \(x=1\) \(y' = 0\)

Значит:

• функция убывает на \((0, 1)\)
• функция возрастает на \((1, +\infty)\)

Шаг 4: Анализ экстремумов

Значения критических точек:

• \(x=1\) — единственная точка, где первая производная равна нулю.

Проверим знак первой производной вокруг этой точки:

• слева: \(x \to 1^-\), \(y' < 0\)
• справа: \(x \to 1^+\), \(y' > 0\)

Значит, в точке \(x=1\) происходит изменение знака с минуса на плюс, что соответствует минимуму.

Шаг 5: Итоги

• Функция убывает на \((0, 1)\) — утверждение «Функция убывает на промежутке \((- \infty, 1]\)» — верно.
• Функция возрастает на \((1, +\infty)\) — утверждение "Функция возрастает на промежутке (1; +oo)" — верно.
• В точке \(x=1\) достигается минимум — неэкстремум, поскольку это минимум, а не максимум.

Итоговые правильные утверждения:

• Функция определена на промежутке \((0; +\infty)\) — да
• Функция убывает на промежутке \((- \infty; 1]\) — да
• Функция возрастает на промежутке \((1; +\infty)\) — да
• \(x=1\) — точка минимума, экстремума там нет.

Ответ:

Правильные утверждения:

• Функция убывает на промежутке \((- \infty; 1]\)
• Функция возрастает на промежутке \((1; +\infty)\)
• Функция определена на промежутке \((0; +\infty)\)

Если нужно объяснить что-то подробнее, скажи!