Рассмотрим функцию:
[ y = \ln x + \frac{1}{x} ]
Цель — понять характеристики функции, определить промежутки возрастания и убывания, а также наличие экстремумов.
Шаг 1: Область определения функции
- (\ln x) определено при (x > 0)
- (\frac{1}{x}) тоже определено при (x \neq 0)
Следовательно, функция определена на промежутке (\boxed{(0, +\infty)}). Это соответствует утверждению:
"Функция определена на промежутке (0; +∞)" — верно.
Шаг 2: Найдём первую производную (y')
[
y' = \frac{d}{dx} \left(\ln x + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}
]
Объединим в одну дробь:
[
y' = \frac{x - 1}{x^2}
]
Шаг 3: Анализ знака производной
- (y' > 0) при (x > 1) (т.к. числитель (x - 1 > 0))
- (y' < 0) при (0 < x < 1) (числитель (x - 1 < 0))
- В точке (x=1) (y' = 0)
Значит:
- функция убывает на ((0, 1))
- функция возрастает на ((1, +\infty))
Шаг 4: Анализ экстремумов
Значения критических точек:
- (x=1) — единственная точка, где первая производная равна нулю.
Проверим знак первой производной вокруг этой точки:
- слева: (x \to 1^-), (y' < 0)
- справа: (x \to 1^+), (y' > 0)
Значит, в точке (x=1) происходит изменение знака с минуса на плюс, что соответствует минимуму.
Шаг 5: Итоги
- Функция убывает на ((0, 1)) — утверждение «Функция убывает на промежутке ((- \infty, 1])» — верно.
- Функция возрастает на ((1, +\infty)) — утверждение "Функция возрастает на промежутке (1; +oo)" — верно.
- В точке (x=1) достигается минимум — неэкстремум, поскольку это минимум, а не максимум.
Итоговые правильные утверждения:
- Функция определена на промежутке ((0; +\infty)) — да
- Функция убывает на промежутке ((- \infty; 1]) — да
- Функция возрастает на промежутке ((1; +\infty)) — да
- (x=1) — точка минимума, экстремума там нет.
Ответ:
Правильные утверждения:
- Функция убывает на промежутке ((- \infty; 1])
- Функция возрастает на промежутке ((1; +\infty))
- Функция определена на промежутке ((0; +\infty))
Если нужно объяснить что-то подробнее, скажи!
