y=2x²-12x+10
Конечно! Давайте разберемся с функцией \( y = 2x^2 - 12x + 10 \). Предположим, ваша цель — понять ее свойства и разобраться, как она устроена. Я подробно объясню каждый шаг.
1. Виды анализа функции квадратичной: что можно сделать?
- Найти вершину параболы.
- Определить, где функция возрастает или убывает.
- Найти ось симметрии.
- Определить, где функция равна нулю (корни).
- Построить график.
2. Представим функцию в стандартном виде — вершиной
Квадратичная функция обычно пишется в виде: \[ y = ax^2 + bx + c \]
В нашем случае: \[ a = 2, \quad b = -12, \quad c = 10 \]
Чтобы найти вершину параболы и уравнение ее оси симметрии, используют формулы.
3. Находим координаты вершины
Координаты вершины \((x_{вершина}, y_{вершина})\) находятся по формуле:
\[ x_{вершина} = -\frac{b}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_{вершина} = -\frac{-12}{2 \times 2} = \frac{12}{4} = 3 \]
Чтобы найти \( y_{вершина} \), подставим \( x = 3 \) в исходное уравнение:
\[ y = 2(3)^2 - 12 \times 3 + 10 \] \[ y = 2 \times 9 - 36 + 10 = 18 - 36 + 10 = -8 \]
Итого: вершина параболы находится в точке \((3, -8)\).
4. Форма уравнения — вершина
Можно переписать функцию в виде вершиной:
Используем формулу – полностью квадрат:
\[ y = a(x - x_{вершина})^2 + y_{вершина} \]
Подставим значения \(a = 2\), \(x_{вершина} = 3\), \(y_{вершина} = -8\):
\[ y = 2(x - 3)^2 - 8 \]
Это окончательная форма, где видно, что ветви параболы "направлены вверх" (поскольку \(a = 2 > 0\)).
5. Находим нули функции (корни)
Для этого решим уравнение:
\[ 2x^2 - 12x + 10 = 0 \]
Делим обе части на 2, чтобы было проще:
\[ x^2 - 6x + 5 = 0 \]
Используем дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 36 - 20 = 16 \]
Корни уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \]
\[ x_1 = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Итак, нули функции: \(x = 1\) и \(x = 5\).
6. Итог
- Вершина функции находится в точке \((3, -8)\).
- Ось симметрии — вертикальная линия \(x = 3\).
- Нули функции — в точках \(x=1\) и \(x=5\).
- График — парабола, открытая вверх.
Если хотите, я могу помочь построить график или объяснить более подробно какой-либо шаг.
