Решите самостоятельно, используя алгоритм 1. 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + cos 𝑥 − 6 = 0 2. 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + sin 𝑥 − 1 = 0 3. 𝑡𝑔2 − 3 tg 𝑥 − 4 = 0 4. 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 − с 𝑜𝑠 𝑥 − 1 = 0 5. 2𝑐𝑜𝑠2𝑥…

Рассмотрим каждое из уравнений подробно и пошагово решим их.

---

1. \(2 \cos^2 x + \cos x - 6 = 0\)

Шаг 1: Введем замену
\( y = \cos x \).
Тогда уравнение превратится в квадратичное по \( y \):

\[ 2 y^2 + y - 6 = 0 \]

Шаг 2: Решим квадратичное уравнение
Используя формулу:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=2,\,b=1,\,c=-6 \).

\[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 \]

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 7}{4} \]

Получаем два корня:

• \( y_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)

• \( y_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \)

Шаг 3: Проверим допустимость решений по \(\cos x\):

• \( y_1 = \frac{3}{2} \). Так как \(\cos x \in [-1,1]\), то \( y_1 \) неподходит.
• \( y_2 = -2 \). Также недопустимо для \(\cos x\).

Вывод: решений по \(\cos x\) нет, следовательно, решений у этого уравнения в реальности нет.

---

2. \(2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0\)

Шаг 1: Пусть \( t = \sin x \), тогда получаем
\[ 2 t^2 + t - 1 = 0 \]

Шаг 2: Решим квадратичное:

\[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]

\[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4} \]

Получаем два решения:

• \( t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
• \( t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)

Шаг 3: Проверка допустимых значений \(\sin x\):

• \( t_1 = \frac{1}{2} \). Входит в интервал \([-1,1]\), подходит.
• \( t_2 = -1 \). Также входит, подходит.

Шаг 4: Находим решения для \(\sin x = t\):

• \(\sin x = \frac{1}{2}\)
  \( x = \arcsin \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• \(\sin x = -1\)
  \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Итог решения:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

---

3. \( \tan^2 x - 3 \tan x - 4 = 0 \)

Шаг 1: Пусть \( t = \tan x \), получаем:

\[ t^2 - 3 t - 4 = 0 \]

Шаг 2: Решим квадратичное:

\[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \]

Получаем два корня:

• \( t_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
• \( t_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Шаг 3: Решения для \( \tan x \):

• \( \tan x = 4 \)

  \( x = \arctan 4 + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

• \( \tan x = -1 \)

  \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Итог:

\[ x = \arctan 4 + \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n , \quad n \in \mathbb{Z} \]

---

4. \( 4 \sin^2 x - \cos x - 1 = 0 \)

Шаг 1: Используем тождество \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\):

\[ 4 (1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ 4 - 4 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \]

Объединим:

\[ 3 - 4 \cos^2 x - \cos x = 0 \]

Перенесем все в левую сторону:

\[ -4 \cos^2 x - \cos x + 3 = 0 \]

или

\[ 4 \cos^2 x + \cos x - 3 = 0 \]

Обозначим \( y = \cos x \):

\[ 4 y^2 + y - 3 = 0 \]

Шаг 2: Решим квадратичное:

\[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \]

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm 7}{8} \]

Получаем два решения:

• \( y_1 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)
• \( y_2 = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \)

Шаг 3: Проверка допустимых значений \(\cos x\):

• \( y_1 = \frac{3}{4} \) — подходит.
• \( y_2 = -1 \) — подходит (\(\cos x = -1\) при \( x = \pi + 2\pi n \)).

Шаг 4: Находим \( x \):

• \(\cos x = \frac{3}{4}\)

  \( x = \pm \arccos \left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi n \)

• \(\cos x = -1\)

  \( x = \pi + 2\pi n \)

---

5. \( 2 \cos^2 x - \sin x + 1 = 0 \)

Шаг 1: Используем \(\sin x = \pm \sqrt{1 - \cos^2 x}\), но проще оставить как есть или выразить через \(\cos x\).

Логично выразить \(\sin x = \pm \sqrt{1 - \cos^2 x}\).

Обозначим \( y = \cos x \):

\[ 2 y^2 - \sin x + 1 = 0 \]

Но так как \(\sin x\) — переменная, и связана через \( y \), упростим через тригонометрическую формулу:

Преобразуем уравнение:

\[ 2 y^2 + 1 = \sin x \]

Но \(\sin x\) по условию входит в диапазон \([-1,1]\), значит,

\[ -1 \leq 2 y^2 + 1 \leq 1 \]

Рассмотрим это неравенство:

\[ -1 \leq 2 y^2 + 1 \leq 1 \]

Вычитаем 1:

\[ -2 \leq 2 y^2 \leq 0 \]

Разделим на 2:

\[ -1 \leq y^2 \leq 0 \]

Но \( y^2 \geq 0 \), значит единственное допустимое значение:

\[ y^2 = 0 \Rightarrow y = 0 \]

Проверка — подходит ли \( y=0 \):

\[ 2 \cdot 0^2 + 1 = 1 \]

Тогда:

\[ \sin x = 1 \]

Решение:

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

---

Итоговые решения:

1. Решений нет.
2. \(\boxed{ x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n, \quad x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, \quad x = \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} }\)
3. \(\boxed{ x = \arctan 4 + \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} }\)
4. \(\boxed{ x = \pm \arccos \left(\frac{3}{4}\right) + 2 \pi n, \quad x = \pi + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} }\)
5. \(\boxed{ x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} }\)

Если потребуется более подробное объяснение по каждому шагу — обращайтесь!