Решите самостоятельно, используя алгоритм 1. 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + cos 𝑥 − 6 = 0 2. 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + sin 𝑥 − 1 = 0 3. 𝑡𝑔2 − 3 tg 𝑥 − 4 = 0 4. 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 − с 𝑜𝑠 𝑥 − 1 = 0 5. 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − sin 𝑥 + 1 = 0

Рассмотрим каждое из уравнений подробно и пошагово решим их. --- ### 1. \(2 \cos^2 x + \cos x - 6 = 0\) **Шаг 1:** Введем замену \( y = \cos x \). Тогда уравнение превратится в квадратичное по \( y \): \[ 2 y^2 + y - 6 = 0 \] **Шаг 2:** Решим квадратичное уравнение Используя формулу: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=2,\,b=1,\,c=-6 \). \[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 7}{4} \] Получаем два корня: - \( y_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) - \( y_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \) **Шаг 3:** Проверим допустимость решений по \(\cos x\): - \( y_1 = \frac{3}{2} \). Так как \(\cos x \in [-1,1]\), то \( y_1 \) неподходит. - \( y_2 = -2 \). Также недопустимо для \(\cos x\). **Вывод:** решений по \(\cos x\) нет, следовательно, решений у этого уравнения в реальности нет. --- ### 2. \(2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0\) **Шаг 1:** Пусть \( t = \sin x \), тогда получаем \[ 2 t^2 + t - 1 = 0 \] **Шаг 2:** Решим квадратичное: \[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \] \[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4} \] Получаем два решения: - \( t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) - \( t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \) **Шаг 3:** Проверка допустимых значений \(\sin x\): - \( t_1 = \frac{1}{2} \). Входит в интервал \([-1,1]\), подходит. - \( t_2 = -1 \). Также входит, подходит. **Шаг 4:** Находим решения для \(\sin x = t\): - \(\sin x = \frac{1}{2}\) \( x = \arcsin \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). - \(\sin x = -1\) \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). ### Итог решения: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] --- ### 3. \( \tan^2 x - 3 \tan x - 4 = 0 \) **Шаг 1:** Пусть \( t = \tan x \), получаем: \[ t^2 - 3 t - 4 = 0 \] **Шаг 2:** Решим квадратичное: \[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] \[ t = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] Получаем два корня: - \( t_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) - \( t_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) **Шаг 3:** Решения для \( \tan x \): - \( \tan x = 4 \) \( x = \arctan 4 + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). - \( \tan x = -1 \) \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). ### Итог: \[ x = \arctan 4 + \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n , \quad n \in \mathbb{Z} \] --- ### 4. \( 4 \sin^2 x - \cos x - 1 = 0 \) **Шаг 1:** Используем тождество \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\): \[ 4 (1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0 \] Раскроем скобки: \[ 4 - 4 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \] Объединим: \[ 3 - 4 \cos^2 x - \cos x = 0 \] Перенесем все в левую сторону: \[ -4 \cos^2 x - \cos x + 3 = 0 \] или \[ 4 \cos^2 x + \cos x - 3 = 0 \] Обозначим \( y = \cos x \): \[ 4 y^2 + y - 3 = 0 \] **Шаг 2:** Решим квадратичное: \[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \] \[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm 7}{8} \] Получаем два решения: - \( y_1 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \) - \( y_2 = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \) **Шаг 3:** Проверка допустимых значений \(\cos x\): - \( y_1 = \frac{3}{4} \) — подходит. - \( y_2 = -1 \) — подходит (\(\cos x = -1\) при \( x = \pi + 2\pi n \)). **Шаг 4:** Находим \( x \): - \(\cos x = \frac{3}{4}\) \( x = \pm \arccos \left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi n \) - \(\cos x = -1\) \( x = \pi + 2\pi n \) --- ### 5. \( 2 \cos^2 x - \sin x + 1 = 0 \) **Шаг 1:** Используем \(\sin x = \pm \sqrt{1 - \cos^2 x}\), но проще оставить как есть или выразить через \(\cos x\). Логично выразить \(\sin x = \pm \sqrt{1 - \cos^2 x}\). Обозначим \( y = \cos x \): \[ 2 y^2 - \sin x + 1 = 0 \] Но так как \(\sin x\) — переменная, и связана через \( y \), упростим через тригонометрическую формулу: Преобразуем уравнение: \[ 2 y^2 + 1 = \sin x \] Но \(\sin x\) по условию входит в диапазон \([-1,1]\), значит, \[ -1 \leq 2 y^2 + 1 \leq 1 \] Рассмотрим это неравенство: \[ -1 \leq 2 y^2 + 1 \leq 1 \] Вычитаем 1: \[ -2 \leq 2 y^2 \leq 0 \] Разделим на 2: \[ -1 \leq y^2 \leq 0 \] Но \( y^2 \geq 0 \), значит единственное допустимое значение: \[ y^2 = 0 \Rightarrow y = 0 \] Проверка — подходит ли \( y=0 \): \[ 2 \cdot 0^2 + 1 = 1 \] Тогда: \[ \sin x = 1 \] Решение: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] --- ## Итоговые решения: 1. Решений нет. 2. \(\boxed{ x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n, \quad x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n, \quad x = \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} }\) 3. \(\boxed{ x = \arctan 4 + \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} }\) 4. \(\boxed{ x = \pm \arccos \left(\frac{3}{4}\right) + 2 \pi n, \quad x = \pi + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} }\) 5. \(\boxed{ x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} }\) Если потребуется более подробное объяснение по каждому шагу — обращайтесь!