Рассмотрим задачу поэтапно, чтобы сравнить значения выражений (f(27 - 8 \sqrt{11})) и (g(4 + \sqrt{11})). Нам даны функции:
[f(x) = \sqrt{4} = 2,]
[g(x) = \frac{5}{x}.]
Обратите внимание, что функция (f(x)) не зависит от переменной (x), это — константа:
[f(x) = 2.]
Теперь вычислим каждое выражение.
1. Вычисление (f(27 - 8 \sqrt{11}))
Так как (f(x) = 2) для любого (x), то:
[
f(27 - 8 \sqrt{11}) = 2.
]
2. Вычисление (g(4 + \sqrt{11}))
Подставляем в функцию (g(x) = \frac{5}{x}):
[
g(4 + \sqrt{11}) = \frac{5}{4 + \sqrt{11}}.
]
Чтобы упростить дробь, рационализируем её—умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:
[
4 - \sqrt{11}.
]
Получаем:
[
g(4 + \sqrt{11}) = \frac{5}{4 + \sqrt{11}} \times \frac{4 - \sqrt{11}}{4 - \sqrt{11}} = \frac{5(4 - \sqrt{11})}{(4 + \sqrt{11})(4 - \sqrt{11})}.
]
Знаменатель — это разность квадратов:
[
(4)^2 - (\sqrt{11})^2 = 16 - 11 = 5.
]
То есть:
[
g(4 + \sqrt{11}) = \frac{5(4 - \sqrt{11})}{5} = 4 - \sqrt{11}.
]
3. Итоговые значения
- [
f(27 - 8 \sqrt{11}) = 2,
]
- [
g(4 + \sqrt{11}) = 4 - \sqrt{11}.
]
4. Сравним (2) и (4 - \sqrt{11}).
Заметим, что (\sqrt{11}) примерно равно 3.317, поэтому:
[
4 - \sqrt{11} \approx 4 - 3.317 = 0.683.
]
Поскольку (2) больше (0.683), то:
[
f(27 - 8 \sqrt{11}) = 2 > 4 - \sqrt{11} = g(4 + \sqrt{11}).
]
Ответ:
[
f(27 - 8 \sqrt{11}) > g(4 + \sqrt{11}).
]
Если есть еще вопросы или нужно более подробное объяснение — пишите!
