Определите число точек пересечения графиков функций y=x³ и y=(k+1)*x для каждого значения k

Давайте решим задачу: определить число точек пересечения графиков функций \( y = x^3 \) и \( y = (k + 1) \cdot x \) в зависимости от параметра \( k \). --- ### Шаг 1: Запишем условие пересечения графиков Точки пересечения — это такие \( x \), при которых значения функций равны: \[ x^3 = (k + 1) \cdot x \] Рассмотрим это уравнение. --- ### Шаг 2: Решим уравнение Перепишем: \[ x^3 - (k + 1) \cdot x = 0 \] Выносим \( x \) за скобки: \[ x \left( x^2 - (k + 1) \right) = 0 \] Это произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \[ \boxed{ x = 0 } \] или \[ x^2 = k + 1 \] --- ### Шаг 3: Анализ полученных решений Решения: 1. **Первое решение:** \( x = 0 \) — всегда существует и соответствует одной точке пересечения. 2. **Второе решение:** \( x^2 = k + 1 \) - Если \( k + 1 > 0 \), то \( x^2 = k + 1 \) имеет два решения: \( x = \pm \sqrt{k + 1} \). - Если \( k + 1 = 0 \), то \( x^2 = 0 \Rightarrow x=0 \), то есть оно совпадает с первым решением. Тогда всего решений — одно (уже учтено). - Если \( k + 1 < 0 \), то \( x^2 = k + 1 \) не имеет действительных решений, так как квадрат не может быть отрицательным. --- ### Итоговое решение о количестве точек пересечения: \[ \boxed{ \text{Количество решений} = \begin{cases} 1, & \text{если } k + 1 < 0 \\ 2, & \text{если } k + 1 > 0 \\ 1, & \text{если } k + 1 = 0 \\ \end{cases} } \] Объяснение: - В случае \( k + 1 < 0 \), решений только одна — это \( x=0 \). - В случае \( k + 1 > 0 \), решений три: \( x=0 \) и \( x= \pm \sqrt{k + 1} \). Но это важно уточнить: так как уравнение разбито на три корня, включая \( x=0 \), всего решений три — это 1 (нулевой) плюс два от \( \pm \sqrt{k + 1} \). Однако, в условии у нас «сколько точек пересечения»: поскольку уравнение — это в общем случае — имеет такие корни, то в общем — 3 точки пересечения. **Исправим:** Перепишем более аккуратно: - **Если \(k + 1 > 0\):** – решений: \( x=0 \) и \( x= \pm \sqrt{k+1} \) — итого **3** решений. - **Если \(k + 1 = 0\):** – решений: только \( x=0 \) — **1** решение. - **Если \(k + 1 < 0\):** – решений: только \( x=0 \) — **1** решение. --- ### Итоговая таблица: | Значение \(k\) | Количество точек пересечения | |----------------|------------------------------| | \(k + 1 > 0\) (то есть \(k > -1\)) | **3** | | \(k + 1 = 0\) (то есть \(k = -1\)) | **1** | | \(k + 1 < 0\) (то есть \(k < -1\)) | **1** | --- Если нужны более подробные объяснения или примеры — с удовольствием помогу!