Определите число точек пересечения графиков функций y=x³ и y=(k+1)*x для каждого значения k

Давайте решим задачу: определить число точек пересечения графиков функций \( y = x^3 \) и \( y = (k + 1) \cdot x \) в зависимости от параметра \( k \).

Шаг 1: Запишем условие пересечения графиков

Точки пересечения — это такие \( x \), при которых значения функций равны:

\[ x^3 = (k + 1) \cdot x \]

Рассмотрим это уравнение.

Шаг 2: Решим уравнение

Перепишем:

\[ x^3 - (k + 1) \cdot x = 0 \]

Выносим \( x \) за скобки:

\[ x \left( x^2 - (k + 1) \right) = 0 \]

Это произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[ \boxed{ x = 0 } \] или \[ x^2 = k + 1 \]

Шаг 3: Анализ полученных решений

Решения:

1. Первое решение: \( x = 0 \) — всегда существует и соответствует одной точке пересечения.

2. Второе решение: \( x^2 = k + 1 \)

   • Если \( k + 1 > 0 \), то \( x^2 = k + 1 \) имеет два решения: \( x = \pm \sqrt{k + 1} \).

   • Если \( k + 1 = 0 \), то \( x^2 = 0 \Rightarrow x=0 \), то есть оно совпадает с первым решением. Тогда всего решений — одно (уже учтено).

   • Если \( k + 1 < 0 \), то \( x^2 = k + 1 \) не имеет действительных решений, так как квадрат не может быть отрицательным.

Итоговое решение о количестве точек пересечения:

\[ \boxed{ \text{Количество решений} = \begin{cases} 1, & \text{если } k + 1 < 0 \\ 2, & \text{если } k + 1 > 0 \\ 1, & \text{если } k + 1 = 0 \\ \end{cases} } \]

Объяснение:

• В случае \( k + 1 < 0 \), решений только одна — это \( x=0 \).
• В случае \( k + 1 > 0 \), решений три: \( x=0 \) и \( x= \pm \sqrt{k + 1} \). Но это важно уточнить: так как уравнение разбито на три корня, включая \( x=0 \), всего решений три — это 1 (нулевой) плюс два от \( \pm \sqrt{k + 1} \). Однако, в условии у нас «сколько точек пересечения»: поскольку уравнение — это в общем случае — имеет такие корни, то в общем — 3 точки пересечения.

Исправим:
Перепишем более аккуратно:

• Если \(k + 1 > 0\):
  – решений: \( x=0 \) и \( x= \pm \sqrt{k+1} \) — итого 3 решений.

• Если \(k + 1 = 0\):
  – решений: только \( x=0 \) — 1 решение.

• Если \(k + 1 < 0\):
  – решений: только \( x=0 \) — 1 решение.

Итоговая таблица:

Если нужны более подробные объяснения или примеры — с удовольствием помогу!