(13 - 10х)^2 + 15(10х^2 + 7х - 26)^2 = 0.
Давайте подробно разберем данную задачу:
\[ (13 - 10x)^2 + 15(10x^2 + 7x - 26)^2 = 0 \]
Цель — понять решение.
Анализ уравнения
Это сумма двух квадратов, равная нулю. Recall, что:
\[ a^2 + b^2 = 0 \]
может быть выполнено только тогда, когда оба квадрата равны нулю:
\[ a^2 = 0 \quad \text{и} \quad b^2 = 0 \]
потому что квадраты неотрицательны, и сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только при этом.
Шаг 1: Условия для решения
Рассмотрим каждое из выражений отдельно:
- \((13 - 10x)^2 = 0\)
- \(15(10x^2 + 7x - 26)^2 = 0\)
При этом, поскольку оба выражения — квадраты, они равны нулю только тогда, когда подражают нулю:
\[ 13 - 10x = 0 \]
и
\[ 10x^2 + 7x - 26 = 0 \]
Шаг 2: Решение первого уравнения
\[ 13 - 10x = 0 \]
Отсюда:
\[ 10x = 13 \implies x = \frac{13}{10} = 1.3 \]
Шаг 3: Решение второго уравнения
\[ 10x^2 + 7x - 26 = 0 \]
Это квадратное уравнение. Посчитаем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a=10\), \(b=7\), \(c=-26\):
\[ D = 7^2 - 4 \times 10 \times (-26) = 49 + 1040 = 1089 \]
Найдем корни по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{1089}}{2 \times 10} \]
\(\sqrt{1089} = 33\), значит:
\[ x = \frac{-7 \pm 33}{20} \]
Получаем два корня:
- \(\displaystyle x = \frac{-7 + 33}{20} = \frac{26}{20} = \frac{13}{10} = 1.3\)
- \(\displaystyle x = \frac{-7 - 33}{20} = \frac{-40}{20} = -2\)
Итог: решения уравнения
- Из первого уравнения: \(x = \frac{13}{10} = 1.3\)
- Из второго уравнения: \(x = 1.3\) и \(x = -2\)
Обратите внимание: значение \(x=1.3\) удовлетворяет обоим уравнениям.
Поскольку обе части уравнения равны нулю при \(x=1.3\), то это и есть решение.
Также есть третий корень \(x=-2\), он удовлетворяет только второму уравнению, при этом первое не выполняется.
Заключение:
Единственное решение исходного уравнения — \(\boxed{x=1.3}\)
Если есть дополнительные вопросы, готов помочь!
