Реши задачу Мошенники завладели пластиковой картой, найденной в гипермаркете. Какова вероятность того, что они взломают пин код карты, если известно, что после третьей попытки…
Реши задачу Мошенники завладели пластиковой картой, найденной в гипермаркете. Какова вероятность того, что они взломают пин код карты, если известно, что после третьей попытки банк блокирует карту? Подсказка: в пин коде используются только десятичные цифры, длина кода 4 знака Ответ Рассчитай вероятность, если количество попыток было 50. Ответ:
Давайте разберемся с задачей поэтапно.
Дано:
- В пин-коде используются только десятичные цифры (от 0 до 9).
- Длина пин-кода — 4 знака.
- После третьей неправильной попытки карта блокируется (то есть, в случае удачной взлома у преступников есть шанс взломать пин-код за 50 попыток).
- Количество попыток — 50.
- Требуется найти вероятность того, что мошенники взломают пин-код.
Шаг 1: Общее число возможных пин-кодов
Каждый из 4 знаков может быть любой из 10 цифр, при этом символы выбираются независимо:
\[ \text{Общее число вариантов} = 10^4 = 10,000 \]
Шаг 2: Вероятность угадывания пин-кода за одну попытку
Если попытка есть случайной, то вероятность угадать правильный пин-код за одну попытку равна:
\[ P(\text{угадаемый кд}) = \frac{1}{10,000} \]
Шаг 3: Вероятность не угадать за одну попытку
\[ P(\text{не угадать}) = 1 - \frac{1}{10,000} = \frac{9,999}{10,000} \]
Шаг 4: Вероятность не угадать за все 50 попыток
Если попытки независимы и не учитываем блокировку после 3 ошибок, то:
\[ P(\text{не угадать ни разу за 50 попыток}) = \left( \frac{9,999}{10,000} \right)^{50} \]
Шаг 5: Вероятность угадывания хотя бы одного раза за 50 попыток
Это и есть искомая вероятность взлома:
\[ P(\text{взлом}) = 1 - \left(\frac{9,999}{10,000}\right)^{50} \]
Шаг 6: Вычисление финальной вероятности
Посчитаем приближенно:
\[ \left(\frac{9,999}{10,000}\right)^{50} \approx e^{50 \times \ln(0.9999)} \]
Используем приближение для натурального логарифма:
\[ \ln(0.9999) \approx -0.000100005 \]
Тогда:
\[ 50 \times -0.000100005 = -0.00500025 \]
И:
\[ e^{-0.00500025} \approx 1 - 0.00500025 + \frac{(0.00500025)^2}{2} \approx 0.99501 \]
Таким образом:
\[ P(\text{взлом}) \approx 1 - 0.99501 = 0.00499 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Вероятность взлома} \approx 0.005 } \]
Или в процентах — около 0.5%.
Итог: вероятность того, что мошенники взломают пин-код за 50 попыток, составляет примерно 0.5%.
