Давайте разберемся с задачей поэтапно.
Дано:
- В пин-коде используются только десятичные цифры (от 0 до 9).
- Длина пин-кода — 4 знака.
- После третьей неправильной попытки карта блокируется (то есть, в случае удачной взлома у преступников есть шанс взломать пин-код за 50 попыток).
- Количество попыток — 50.
- Требуется найти вероятность того, что мошенники взломают пин-код.
Шаг 1: Общее число возможных пин-кодов
Каждый из 4 знаков может быть любой из 10 цифр, при этом символы выбираются независимо:
[
\text{Общее число вариантов} = 10^4 = 10,000
]
Шаг 2: Вероятность угадывания пин-кода за одну попытку
Если попытка есть случайной, то вероятность угадать правильный пин-код за одну попытку равна:
[
P(\text{угадаемый кд}) = \frac{1}{10,000}
]
Шаг 3: Вероятность не угадать за одну попытку
[
P(\text{не угадать}) = 1 - \frac{1}{10,000} = \frac{9,999}{10,000}
]
Шаг 4: Вероятность не угадать за все 50 попыток
Если попытки независимы и не учитываем блокировку после 3 ошибок, то:
[
P(\text{не угадать ни разу за 50 попыток}) = \left( \frac{9,999}{10,000} \right)^{50}
]
Шаг 5: Вероятность угадывания хотя бы одного раза за 50 попыток
Это и есть искомая вероятность взлома:
[
P(\text{взлом}) = 1 - \left(\frac{9,999}{10,000}\right)^{50}
]
Шаг 6: Вычисление финальной вероятности
Посчитаем приближенно:
[
\left(\frac{9,999}{10,000}\right)^{50} \approx e^{50 \times \ln(0.9999)}
]
Используем приближение для натурального логарифма:
[
\ln(0.9999) \approx -0.000100005
]
Тогда:
[
50 \times -0.000100005 = -0.00500025
]
И:
[
e^{-0.00500025} \approx 1 - 0.00500025 + \frac{(0.00500025)^2}{2} \approx 0.99501
]
Таким образом:
[
P(\text{взлом}) \approx 1 - 0.99501 = 0.00499
]
Ответ:
[
\boxed{
\text{Вероятность взлома} \approx 0.005
}
]
Или в процентах — около 0.5%.
Итог: вероятность того, что мошенники взломают пин-код за 50 попыток, составляет примерно 0.5%.
