Замените \( a, b, c \) на числа так, чтобы получилась верная цепочка сравнений: \[ 5^7 \equiv 5 \cdot (5a)^3 \equiv 5 \cdot b^3 \equiv c \pmod{13}. \] В ответ запишите значение выражения \( a + b + c \). *Примечание: Все вычисления выполняются по модулю 13.*

Давайте подробно разберем задачу. Нам нужно найти такие числа \(a\), \(b\), и \(c\), чтобы выполнены уравнения: \[ 5^7 \equiv 5 \cdot (5a)^3 \equiv 5 \cdot b^3 \equiv c \pmod{13}. \] И в конце нужно найти сумму \(a + b + c\). --- ### Шаг 1: Вычислим \(5^7 \pmod{13}\). Используем свойства степеней по модулю 13. - \(5^1 \equiv 5 \pmod{13}\) - \(5^2 \equiv 25 \equiv 12 \pmod{13}\) (так как \(25 - 13 \times 1 = 12\)) - \(5^3 \equiv 5^2 \cdot 5 \equiv 12 \times 5 = 60 \equiv 8 \pmod{13}\) (так как \(60 - 13 \times 4 = 60 - 52 = 8\)) - \(5^4 \equiv 5^3 \times 5 \equiv 8 \times 5 = 40 \equiv 1 \pmod{13}\) (так как \(40 - 13 \times 3 = 1\)) Обнаружили, что \(5^4 \equiv 1 \pmod{13}\). Теперь, чтобы найти \(5^7\): \[ 5^7 = 5^{4 + 3} = 5^4 \times 5^3 \equiv 1 \times 8 \equiv 8 \pmod{13}. \] **Итак,**: \[ 5^7 \equiv 8 \pmod{13}. \] --- ### Шаг 2: Выразим остальные члены. Лезем в выражения: \[ 8 \equiv 5 \cdot (5a)^3 \equiv 5 \cdot b^3 \equiv c \pmod{13}. \] Нам нужно связать эти равенства. ### Шаг 3: Найдем \(a\). Из первой части: \[ 8 \equiv 5 \cdot (5a)^3 \pmod{13}. \] Рассмотрим выражение \((5a)^3\): \[ (5a)^3 = 5^3 \cdot a^3. \] Вычислим \(5^3 \pmod{13}\): \[ 5^3 = 125. \] Модуль 13: \[ 125 - 13 \times 9 = 125 - 117 = 8, \] следовательно, \[ 5^3 \equiv 8 \pmod{13}. \] Тогда: \[ (5a)^3 \equiv 8 \cdot a^3 \pmod{13}. \] Подставим в исходное уравнение: \[ 8 \equiv 5 \cdot (5a)^3 \equiv 5 \cdot 8 a^3 \equiv (5 \times 8) \cdot a^3 \pmod{13}. \] Вычислим \(5 \times 8 \pmod{13}\): \[ 5 \times 8 = 40, \] а \(40 \equiv 40 - 13 \times 3 = 40 - 39 = 1\). Следовательно, \[ 8 \equiv 1 \cdot a^3 \equiv a^3 \pmod{13}. \] **Значит:** \[ a^3 \equiv 8 \pmod{13}. \] --- ### Шаг 4: Найти \(a\) such that \(a^3 \equiv 8 \pmod{13}\). Переберем значения \(a = 0, 1, 2, \dots, 12\), чтобы найти куб: - \(a=0: 0^3 = 0\) - \(a=1: 1^3=1\) - \(a=2: 8\) Уже нашли! \(2^3 \equiv 8 \pmod{13}\). Проверим остальные для уверенности: - \(a=3: 27 \equiv 1 \pmod{13}\) - \(a=4: 64 \equiv 12 \pmod{13}\) - \(a=5: 125 \equiv 8 \pmod{13}\) - \(a=6: 216 \equiv 8 \pmod{13}\) - \(a=5: 125 \equiv 8 \pmod{13}\), - \(a=6: 216 \equiv 8 \pmod{13}\), Итак, киты кубов ищем среди возможных значений. Они дают \(a = 2, 5, 6\). --- ### Шаг 5: Найти \(b\): Из второго равенства: \[ 8 \equiv 5 \cdot b^3 \pmod{13}. \] Нужно найти \(b\), чтобы: \[ b^3 \equiv ? \pmod{13} \] с учетом, что \(8 \equiv 5 \cdot b^3\). Переберем \(b\) от 0 до 12, чтобы найти \(b^3 \pmod{13}\): - \(b=0: 0\) - \(b=1: 1\) - \(b=2: 8\) - \(b=3: 27 \equiv 1\) - \(b=4: 64 \equiv 12\) - \(b=5: 125 \equiv 8\) - \(b=6: 216 \equiv 8\) - \(b=7: 343 \equiv 343 - 13 \times 26= 343-338=5\) - \(b=8: 512 \equiv 512 - 13 \times 39= 512 - 507=5\) - \(b=9: 729 \equiv 729 - 13 \times 56= 729 - 728=1\) - \(b=10: 1000 - 13 \times 76= 1000-988=12\) - \(b=11: 1331-13 \times 102= 1331-1326=5\) - \(b=12: 1728-13 \times 133=1728 - 1729= -1 \equiv 12\). Итак, непустые кубы: - \(b=2, 5, 6\) дают \(b^3 \equiv 8\), - \(b=7, 8, 11\) дают \(b^3 \equiv 5\), - \(b=0, 1, 9\) дают \(b^3 \equiv 0,1,1\), - \(b=10, 12\) дают \(b^3 \equiv 12\). Нам нужно, чтобы: \[ 8 \equiv 5 \cdot b^3 \pmod{13}. \] Рассчитаем возможные \(b^3\): - Для \(b=2, 5, 6\), получим \(b^3 \equiv 8\), - Для \(b=7, 8, 11\), \(b^3 \equiv 5\). Будем рассматривать каждое значение: 1. Если \(b^3 \equiv 8\), тогда: \[ 8 \equiv 5 \times 8 \pmod{13} \] но \(5 \times 8 = 40 \equiv 1 \pmod{13}\), а не 8, не подходит. 2. Если \(b^3 \equiv 5\): \[ 8 \equiv 5 \times 5 = 25 \equiv 25-13 \times 1=12 \neq 8, \] не подходит. 3. Если \(b^3 \equiv 12\): \[ 8 \equiv 5 \times 12= 60 \equiv 60 - 13 \times 4= 60 - 52=8, \] отлично! **Следовательно**, \(b^3 \equiv 12 \pmod{13}\), что даёт \(b=10\) или \(b=12\). Но \(\boxed{b=10 \text{ или } 12}\). --- ### Шаг 6: Обратимся к \(c\): Третье уравнение: \[ c \equiv 5 \cdot b^3. \] Если \(b=10\): \[ b^3 \equiv 12 \pmod{13} \] \[ c \equiv 5 \times 12 = 60 \equiv 8 \pmod{13}. \] Если \(b=12\): \[ b^3 \equiv 12 \pmod{13} \Rightarrow c \equiv 5 \times 12=60 \equiv 8 \pmod{13}. \] Итак, \(c \equiv 8 \pmod{13}\). --- ### Итог: - Из вариантов для \(a\): \(a=2,5,6\), - Для \(b\): \(b=10\) или \(12\()), - Значения \(c=8\). Лучший выбор — взять самые простые. Пусть \(a=2\), \(b=10\), \(c=8\). --- ### Окончательный ответ: Нужно найти \(a + b + c\): \[ a + b + c = 2 + 10 + 8 = 20. \] **Ответ: \(\boxed{20}\).**