Дано:
- Треугольник (ABC), где (\angle C = 90^\circ).
- (AC = 10).
- (\tan A = \frac{\sqrt{11}}{5}).
- Нужно найти сторону (AB).
Шаг 1: Определим стороны и углы.
Поскольку (\angle C = 90^\circ), треугольник прямой, и стороны (AC) и (BC) — катеты, а (AB) — гипотенуза.
Обозначим:
- (AC = 10) (один катет).
- (BC) — другой катет, который нужно найти.
- (AB) — гипотенуза, которую нужно найти.
Шаг 2: Используем заданное значение (\tan A = \frac{\sqrt{11}}{5}).
В треугольнике (ABC), угол (A) — угол при вершине (A).
Обозначим:
- Катет, лежащий напротив угла (A) — это (BC).
- Катет, лежащий напротив угла (C) — это (AB).
- Гипотенуза — (AB).
Так как (\tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}),
то:
[
\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{11}}{5}.
]
Значит:
[
BC = AC \times \tan A = 10 \times \frac{\sqrt{11}}{5} = 10 \times \frac{\sqrt{11}}{5} = 2 \times \sqrt{11}.
]
Шаг 3: Найдём гипотенузу (AB).
По теореме Пифагора:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2.
]
Подставим знайденные значения:
[
AB^2 = 10^2 + (2 \sqrt{11})^2 = 100 + 4 \times 11 = 100 + 44 = 144.
]
Следовательно:
[
AB = \sqrt{144} = 12.
]
Итог:
Ответ: (\boxed{12}).
Гипотенуза (AB) равна 12.
