Решить задачу номер 4

Давайте подробно рассмотрим решение задачи №4. **Условие:** На стороне BC треугольника ABC отмечена точка P так, что \( BP:PC = 5:6 \). Через точку P проведена прямая, которая параллельна стороне AC и пересекает сторону AB в точке N. Требуется найти сторону AC, если PN = 15 см. --- ### Шаг 1. Анализ условия и построение - В треугольнике \( ABC \), точка \( P \) лежит на стороне \( BC \). - \( P \) делит отрезок \( BC \) в отношении \( 5:6 \). - Проведена через \( P \) параллельная \( AC \) прямая, пересекающая \( AB \) в точке \( N \). - \( PN \) — отрезок этой параллели между точками \( P \) и \( N \). - Нужно найти длину \( AC \), зная \( PN \). --- ### Шаг 2. Используем свойства подобия Так как проведена прямая, параллельная стороне \( AC \), треугольник \( PNB \) подобен первому треугольнику \( ABC \) по признакам равенства углов. Обозначим: - \( B \), \( C \), \( P \), \( N \) — точки соответственно по условию. Поскольку \( PN \) — эта параллель, треугольники \( ABC \) и \( PNB \) подобны. Тогда отношение их соответствующих сторон равно: \[ \frac{PN}{AC} = \frac{PB}{BC} \] и \[ \frac{N A}{A C} = \frac{AB}{AB} \quad \text{(чего не надо, так как не требуется)}. \] --- ### Шаг 3. Определяем отношение деления \( BC \) точки \( P \) Так как \( P \) делит \( BC \) в отношении \( 5:6 \), то: \[ \frac{BP}{PC} = \frac{5}{6} \] Обозначим \( BC = x \). Тогда длины отрезков: - \( BP = \frac{5}{5+6} \times x = \frac{5}{11} x \). - \( PC = \frac{6}{11} x \). --- ### Шаг 4. Выводим отношение \( PB / BC \) Обратите внимание: \( P \) — точка на \( BC \). Чтобы было понятно: у нас есть отношение \( BP : PC \), а надо отношение \( PB : BC \). Но поскольку \( BC = x \), и \( BP = \frac{5}{11} x \), то: \[ \frac{BP}{BC} = \frac{\frac{5}{11} x}{x} = \frac{5}{11} \] Это отношение, которое нужно для решения по аналогии с подобными треугольниками. --- ### Шаг 5. Использование подобия триугольников Так как \( PN \) — рукав, параллельная \( AC \), то по свойствам подобия: \[ \frac{PN}{AC} = \frac{PB}{BC} = \frac{5}{11} \] Из этого: \[ PN = \frac{5}{11} \times AC \] Подставляем известные значения: \[ 15 = \frac{5}{11} \times AC \] Решая уравнение относительно \( AC \): \[ AC = \frac{15 \times 11}{5} = \frac{165}{5} = 33 \text{ см} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Длина } AC = 33 \text{ см} } \] Если возникнут вопросы по шагам или нужна дополнительная помощь, я с удовольствием помогу!