Если площадь полной поверхности конуса равна 28 пи образующая равна 3 радиус конуса равен?
Давайте решим задачу по частям и подробно объясним каждый шаг.
Условие:
Площадь полной поверхности конуса равна \( 28\pi \).
Образующая \( l = 3 \).
Нам нужно найти радиус конуса \( r \).
Шаг 1. Запись известных данных и искомого:
- Площадь полной поверхности \( S_{полн} = 28\pi \)
- Образующая \( l = 3 \)
- Радиус \( r \) — ищем.
Шаг 2. Формула площади полной поверхности конуса
Полная поверхность включает площадь боковой части и основание: \[ S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \] где:
- \( S_{бок} = \pi r l \),
- \( S_{осн} = \pi r^2 \).
Итак, \[ S_{полн} = \pi r l + \pi r^2 \]
Подставим известные значения: \[ 28 \pi = \pi r \times 3 + \pi r^2 \] или, разделив обе части на \( \pi \): \[ 28 = 3 r + r^2 \]
Шаг 3. Получение квадратного уравнения
Запишем как квадратное уравнение относительно \( r \): \[ r^2 + 3 r - 28 = 0 \]
Шаг 4. Решение квадратного уравнения
Используем формулу корней: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=1,\, b=3,\, c=-28 \).
Подставим: \[ r = \frac{-3 \pm \sqrt{(3)^2 - 4 \times 1 \times (-28)}}{2} \]
Вычислим дискриминант: \[ D = 9 + 112 = 121 \]
Найдем корни: \[ r = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2} \]
Два возможных значения:
- \( r = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4 \),
- \( r = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \).
Радиус не может быть отрицательным, значит, принимаем: \[ r = 4 \]
Итог:
Ответ: радиус конуса равен 4.
