Давайте решим задачу по частям и подробно объясним каждый шаг.
Условие:
Площадь полной поверхности конуса равна ( 28\pi ).
Образующая ( l = 3 ).
Нам нужно найти радиус конуса ( r ).
Шаг 1. Запись известных данных и искомого:
- Площадь полной поверхности ( S_{полн} = 28\pi )
- Образующая ( l = 3 )
- Радиус ( r ) — ищем.
Шаг 2. Формула площади полной поверхности конуса
Полная поверхность включает площадь боковой части и основание:
[
S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}
]
где:
- ( S_{бок} = \pi r l ),
- ( S_{осн} = \pi r^2 ).
Итак,
[
S_{полн} = \pi r l + \pi r^2
]
Подставим известные значения:
[
28 \pi = \pi r \times 3 + \pi r^2
]
или, разделив обе части на ( \pi ):
[
28 = 3 r + r^2
]
Шаг 3. Получение квадратного уравнения
Запишем как квадратное уравнение относительно ( r ):
[
r^2 + 3 r - 28 = 0
]
Шаг 4. Решение квадратного уравнения
Используем формулу корней:
[
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a=1,, b=3,, c=-28 ).
Подставим:
[
r = \frac{-3 \pm \sqrt{(3)^2 - 4 \times 1 \times (-28)}}{2}
]
Вычислим дискриминант:
[
D = 9 + 112 = 121
]
Найдем корни:
[
r = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 \pm 11}{2}
]
Два возможных значения:
- ( r = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4 ),
- ( r = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7 ).
Радиус не может быть отрицательным, значит, принимаем:
[
r = 4
]
Итог:
Ответ: радиус конуса равен 4.
