Давайте решим задачу шаг за шагом, подробно объясняя каждое действие.
Дано:
- Время по течению: 3 часа.
- Время против течения: 4 часа.
- Общий пройденный путь за это время: 380 км.
- Время по течению: 1 час.
- Время против течения: 30 минут (0,5 часа).
- Общий путь за эти два периода: 85 км.
Обозначим:
- ( V ) — собственная скорость теплохода (км/ч).
- ( V_{т} ) — скорость течения (км/ч).
1. Запишем уравнения для двух случаев.
Первый случай — 3 часа по течению и 4 часа против течения (общий путь 380 км):
Путь по течению за 3 часа: ( (V + V_{т}) \times 3 )
Путь против течения за 4 часа: ( (V - V_{т}) \times 4 )
Общий путь: сумма этих двух путей:
[
3(V + V_{т}) + 4(V - V_{т}) = 380
]
Раскроем скобки:
[
3V + 3V_{т} + 4V - 4V_{т} = 380
]
Сгруппируем похожие члены:
[
(3V + 4V) + (3V_{т} - 4V_{т}) = 380
]
[
7V - V_{т} = 380 \quad \text{(Уравнение 1)}
]
Второй случай — 1 час по течению и 0,5 часа против течения (общий путь 85 км):
Путь по течению: ( (V + V_{т}) \times 1 = V + V_{т} )
Путь против течения: ( (V - V_{т}) \times 0,5 = 0,5V - 0,5V_{т} )
Общий путь:
[
V + V_{т} + 0,5V - 0,5V_{т} = 85
]
Сгруппируем:
[
V + 0,5V + V_{т} - 0,5V_{т} = 85
]
[
(1V + 0,5V) + (V_{т} - 0,5V_{т}) = 85
]
[
1,5V + 0,5V_{т} = 85 \quad \text{(Уравнение 2)}
]
2. Решим систему уравнений.
Уравнения:
[
(1) \quad 7V - V_{т} = 380
]
[
(2) \quad 1,5V + 0,5V_{т} = 85
]
Из уравнения (2):
[
1,5V + 0,5V_{т} = 85
]
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
3V + V_{т} = 170
]
Выразим ( V_{т} ):
[
V_{т} = 170 - 3V
]
Подставим это в уравнение (1):
[
7V - (170 - 3V) = 380
]
Раскроем скобки:
[
7V - 170 + 3V = 380
]
Объединим похожие:
[
(7V + 3V) - 170 = 380
]
[
10V - 170 = 380
]
Добавляем 170 к обеим частям:
[
10V = 550
]
Отсюда:
[
V = \frac{550}{10} = 55 \text{ км/ч}
]
Теперь найдём ( V_{т} ):
[
V_{т} = 170 - 3 \times 55 = 170 - 165 = 5 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Собственная скорость теплохода: 55 км/ч
Скорость течения: 5 км/ч
Если есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
