Давайте разберемся с этой задачей поэтапно. Нам нужно найти среднюю скорость путешественника за весь путь, когда он переплыл озеро туда и обратно, причём скорость туда и обратно отличается.
Что нам дано:
- скорость туда (на яхте): ( v_1 = 24 \text{ км/ч} )
- скорость обратно (на катере): ( v_2 = 36 \text{ км/ч} )
Пусть длина озера (и один из участков пути) равна ( S ) км.
Шаг 1: Найти время движения туда и обратно
Время на путь туда:
[
t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{24}
]
Время на обратный путь:
[
t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{36}
]
Общее время:
[
T = t_1 + t_2 = \frac{S}{24} + \frac{S}{36}
]
Чтобы сложить эти дроби, найдём общий знаменатель:
[
\text{Общий знаменатель} = 72
]
Переведём каждую дробь:
[
t_1 = \frac{S}{24} = \frac{3S}{72}
]
[
t_2 = \frac{S}{36} = \frac{2S}{72}
]
Тогда
[
T = \frac{3S}{72} + \frac{2S}{72} = \frac{5S}{72}
]
Шаг 2: Найти общее пройденное расстояние
Общее расстояние:
[
D = S + S = 2S
]
Шаг 3: Вычислить среднюю скорость
Средняя скорость по всему пути определена как отношение общего пройденного расстояния к общему времени:
[
V_{\text{сред}} = \frac{D}{T} = \frac{2S}{\frac{5S}{72}}
]
Приведем к единому виду:
[
V_{\text{сред}} = 2S \times \frac{72}{5S}
]
Сократим ( S ):
[
V_{\text{сред}} = 2 \times \frac{72}{5} = \frac{144}{5} = 28.8 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Средняя скорость путешественника за весь путь — (\boxed{28.8 \text{ км/ч}}).
