Давайте обозначим время, которое каждый дизайнер затратил бы на оформление учебника отдельно:
- Пусть первый дизайнер затратит (x) часов.
- Пусть второй дизайнер затратит (y) часов.
Шаг 1: Определение скоростей работы
- Скорость первого дизайнера — это доля работы, которую он выполняет за 1 час: (\frac{1}{x}).
- Скорость второго дизайнера — (\frac{1}{y}).
Общая работа за 60 часов:
[
( \text{скорость первого} + \text{скорость второго}) \times 60 = 1
]
или
[
\frac{60}{x} + \frac{60}{y} = 1
]
Упростим уравнение:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{60}
]
(Уравнение 1)
Шаг 2: Вторая ситуация — работа пополам
Если первый дизайнер выполнит половину работы, а затем второй — оставшуюся половину. Тогда временные затраты:
[
\frac{1}{2} \text{ работы} \text{ за } x/2 \text{ часов (для первого)},
]
и
[
\frac{1}{2} \text{ работы} \text{ за } y/2 \text{ часов (для второго)}.
]
Проще говоря, время выполнения τέй половины работы:
[
\frac{1/2}{(1/x)} = \frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2}
]
и аналогично для второго дизайнера:
[
\frac{y}{2}
]
Общее время:
[
\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 169
]
или
[
\frac{x + y}{2} = 169
]
Из этого получаем:
[
x + y = 338
]
(Уравнение 2)
Шаг 3: Решение системы уравнений
Имеем систему:
[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{60} \
x + y = 338
\end{cases}
]
Выразим (y) из второго уравнения:
[
y = 338 - x
]
Подставим в первое уравнение:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{338 - x} = \frac{1}{60}
]
Приведем к общему знаменателю:
[
\frac{338 - x + x}{x(338 - x)} = \frac{1}{60}
]
Упростим числитель:
[
\frac{338}{x(338 - x)} = \frac{1}{60}
]
Перемножим обе части уравнения:
[
338 \times 60 = x(338 - x)
]
Вычислим левую часть:
[
338 \times 60 = 20280
]
Перепишем уравнение:
[
x(338 - x) = 20280
]
Раскроем скобки:
[
338x - x^2 = 20280
]
Перенесем все члены в одну сторону:
[
x^2 - 338x + 20280 = 0
]
Это квадратное уравнение. Решим его по формуле:
[
x = \frac{338 \pm \sqrt{(338)^2 - 4 \times 1 \times 20280}}{2}
]
Вычислим дискриминант:
[
D = 338^2 - 4 \times 20280
]
[
338^2 = 114244
]
[
4 \times 20280 = 81120
]
Дискриминант:
[
D = 114244 - 81120 = 33124
]
Найдем корень из дискриминанта:
[
\sqrt{33124} \approx 182
]
Подставляем:
[
x = \frac{338 \pm 182}{2}
]
Два варианта:
- (\displaystyle x = \frac{338 + 182}{2} = \frac{520}{2} = 260)
- (\displaystyle x = \frac{338 - 182}{2} = \frac{156}{2} = 78)
Теперь найдем (y):
[
y = 338 - x
]
- Если (x=260), то (y=78).
- Если (x=78), то (y=260).
Ответ:
Поскольку задача о том, сколько часов мог бы оформить учебник каждый дизайнер, работая отдельно, то:
- Первый дизайнер — 78 часов
- Второй дизайнер — 260 часов
или наоборот.
Оба варианта допустимы, так как речь идет о двух дизайнерах, и неизвестно, кто какой именно. Обычно принимают, что:
Первый дизайнер — 78 часов,
Второй — 260 часов.
