Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 60 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…

Давайте обозначим время, которое каждый дизайнер затратил бы на оформление учебника отдельно:

• Пусть первый дизайнер затратит \(x\) часов.
• Пусть второй дизайнер затратит \(y\) часов.

Шаг 1: Определение скоростей работы

• Скорость первого дизайнера — это доля работы, которую он выполняет за 1 час: \(\frac{1}{x}\).
• Скорость второго дизайнера — \(\frac{1}{y}\).

Общая работа за 60 часов:
\[ ( \text{скорость первого} + \text{скорость второго}) \times 60 = 1 \]

или
\[ \frac{60}{x} + \frac{60}{y} = 1 \]

Упростим уравнение:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{60} \] (Уравнение 1)

---

Шаг 2: Вторая ситуация — работа пополам

Если первый дизайнер выполнит половину работы, а затем второй — оставшуюся половину. Тогда временные затраты:
\[ \frac{1}{2} \text{ работы} \text{ за } x/2 \text{ часов (для первого)}, \] и
\[ \frac{1}{2} \text{ работы} \text{ за } y/2 \text{ часов (для второго)}. \]

Проще говоря, время выполнения τέй половины работы:
\[ \frac{1/2}{(1/x)} = \frac{1/2}{1/x} = \frac{x}{2} \]

и аналогично для второго дизайнера:
\[ \frac{y}{2} \]

Общее время:
\[ \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 169 \]

или
\[ \frac{x + y}{2} = 169 \]

Из этого получаем:
\[ x + y = 338 \]

(Уравнение 2)

---

Шаг 3: Решение системы уравнений

Имеем систему:

\[ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{60} \\ x + y = 338 \end{cases} \]

Выразим \(y\) из второго уравнения:
\[ y = 338 - x \]

Подставим в первое уравнение:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{338 - x} = \frac{1}{60} \]

Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{338 - x + x}{x(338 - x)} = \frac{1}{60} \]

Упростим числитель:
\[ \frac{338}{x(338 - x)} = \frac{1}{60} \]

Перемножим обе части уравнения:
\[ 338 \times 60 = x(338 - x) \]

Вычислим левую часть:
\[ 338 \times 60 = 20280 \]

Перепишем уравнение:
\[ x(338 - x) = 20280 \]

Раскроем скобки:
\[ 338x - x^2 = 20280 \]

Перенесем все члены в одну сторону:
\[ x^2 - 338x + 20280 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Решим его по формуле:
\[ x = \frac{338 \pm \sqrt{(338)^2 - 4 \times 1 \times 20280}}{2} \]

Вычислим дискриминант:
\[ D = 338^2 - 4 \times 20280 \]

\[ 338^2 = 114244 \]

\[ 4 \times 20280 = 81120 \]

Дискриминант:
\[ D = 114244 - 81120 = 33124 \]

Найдем корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{33124} \approx 182 \]

Подставляем:
\[ x = \frac{338 \pm 182}{2} \]

Два варианта:

1. \(\displaystyle x = \frac{338 + 182}{2} = \frac{520}{2} = 260\)
2. \(\displaystyle x = \frac{338 - 182}{2} = \frac{156}{2} = 78\)

Теперь найдем \(y\):
\[ y = 338 - x \]

• Если \(x=260\), то \(y=78\).
• Если \(x=78\), то \(y=260\).

---

Ответ:

Поскольку задача о том, сколько часов мог бы оформить учебник каждый дизайнер, работая отдельно, то:

• Первый дизайнер — 78 часов
• Второй дизайнер — 260 часов

или наоборот.

Оба варианта допустимы, так как речь идет о двух дизайнерах, и неизвестно, кто какой именно. Обычно принимают, что:

Первый дизайнер — 78 часов,
Второй — 260 часов.