Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.
Задача:
Есть 18 пирожков, из них 7 с повидлом. Мы выбираем случайно 2 пирожка.
Обозначим случайную величину X — это количество пирожков с повидлом среди выбранных двух.
Требуется найти дисперсию X.
Шаг 1. Определим возможные значения X
Поскольку выбираем 2 пирожка, X может быть равно:
- 0 (ни одного с повидлом)
- 1 (один с повидлом)
- 2 (два с повидлом)
Шаг 2. Найдем вероятности для каждого значения X
Обозначим:
- Всього пирожков: N = 18
- С повидлом: M = 7
- Без повидла: N - M = 11
Количество способов выбрать 2 пирожка:
[
C_{18}^2 = \frac{18 \times 17}{2} = 153
]
Шаг 3. Рассчитаем вероятности для каждого X
1. Вероятность X=0 (оба без повидла):
Выбираем 2 пирожка из 11 без повидла:
[
P(X=0) = \frac{C_{11}^2}{C_{18}^2}
]
Рассчитаем:
[
C_{11}^2 = \frac{11 \times 10}{2} = 55
]
Тогда:
[
P(X=0) = \frac{55}{153} \approx 0.359
]
2. Вероятность X=2 (оба с повидлом):
Выбираем 2 пирожка из 7 с повидлом:
[
P(X=2) = \frac{C_7^2}{C_{18}^2}
]
Рассчитаем:
[
C_7^2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21
]
Тогда:
[
P(X=2) = \frac{21}{153} \approx 0.137
]
3. Вероятность X=1 (один с повидлом, один без):
Выбираем 1 пирожок с повидлом и 1 без:
[
P(X=1) = \frac{C_7^1 \times C_{11}^1}{C_{18}^2}
]
Рассчитаем:
[
C_7^1 = 7, \quad C_{11}^1 = 11
]
Тогда:
[
P(X=1) = \frac{7 \times 11}{153} = \frac{77}{153} \approx 0.503
]
Проверка: сумма вероятностей:
[
0.359 + 0.137 + 0.503 = 0.999 \approx 1
]
Шаг 4. Найдем математическое ожидание (E[X])
[
E[X] = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)
]
[
E[X] = 0 \times 0.359 + 1 \times 0.503 + 2 \times 0.137
]
[
E[X] = 0 + 0.503 + 0.274 = 0.777
]
Шаг 5. Найдем (E[X^2])
[
E[X^2] = 0^2 \times 0.359 + 1^2 \times 0.503 + 2^2 \times 0.137
]
[
E[X^2] = 0 + 0.503 + 4 \times 0.137
]
[
E[X^2] = 0.503 + 0.548 = 1.051
]
Шаг 6. Найдем дисперсию (D[X])
[
D[X] = E[X^2] - (E[X])^2
]
[
D[X] = 1.051 - (0.777)^2
]
[
D[X] = 1.051 - 0.603
]
[
D[X] \approx 0.448
]
Ответ:
Дисперсия случайной величины X равна примерно 0.45 (с точностью до сотых).
Если что-то непонятно или нужно подробнее — скажите!
