Рассмотрим задачу вместе и построим дерево вероятностей для такой ситуации.
Дано:
- В наборе: 12 карточек с животными + 20 карточек с героями мультфильмов = 32 карточки всего.
- Карточки берут по очереди, сначала Катя, потом Света, и так далее.
- Нужно найти вероятность события: «первыми в два раза подряд достали карточки с животными».
Шаг 1: Построение дерева событий
Обозначим события:
- Первый выбор: Катя берет карточку.
- Второй выбор: Света берет карточку.
- И так далее...
Нам нужно рассмотреть последовательность, при которой первые два выбранных карточки — это карточки с животными.
Для простоты, мы сосредоточимся только на первых двух выборах (первой и второй карточке), так как именно это событие необходимо.
Шаг 2: Вероятности выбора карточек
Первый выбор (Катя):
Вероятность, что первая карточка — это животное:
[
P_1 = \frac{12}{32}
]
Вероятность, что первая карточка — это герой мультфильма:
[
P_2 = \frac{20}{32}
]
Второй выбор (Света):
Зависит от того, что достали первый раз:
Если первый раз достали животного (вероятность (P_1)), то оставшихся карточек:
- Животных: 11
- Героев: 20
- Всего: 31
Тогда вероятность второго выбора — животное:
[
P_{3|\text{животное первый}} = \frac{11}{31}
]
Если первый раз достали героя (вероятность (P_2)), то оставшихся карточек:
- Животных: 12
- Героев: 19
- Всего: 31
Тогда вероятность второго выбора — животное:
[
P_{4|\text{герой первый}} = \frac{12}{31}
]
Шаг 3: Расчет вероятности события «первыми две карточки — это животные»
Это событие соответствует нескольким сценариям:
- Первая — животное, вторая — животное:
[
P_{\text{оба животные}} = P_1 \times P_{3|\text{животное первый}} = \frac{12}{32} \times \frac{11}{31}
]
- Первая — герой, вторая — животное:
[
P_{\text{герой, потом животное}} = P_2 \times P_{4|\text{герой первый}} = \frac{20}{32} \times \frac{12}{31}
]
Общие вероятность — это сумма этих двух событий:
[
P = \left(\frac{12}{32} \times \frac{11}{31}\right) + \left(\frac{20}{32} \times \frac{12}{31}\right)
]
Шаг 4: Вычисление
Подставим числа:
[
P = \frac{12}{32} \times \frac{11}{31} + \frac{20}{32} \times \frac{12}{31}
]
Перепишем:
[
P = \left(\frac{12 \times 11}{32 \times 31}\right) + \left(\frac{20 \times 12}{32 \times 31}\right)
]
В числителе сумму:
[
= \frac{132 + 240}{32 \times 31} = \frac{372}{992}
]
Упростим дробь:
[
\frac{372}{992}
]
Разделим числитель и знаменатель на 4:
[
\frac{93}{248}
]
Переведем в десятичную форму для округления до сотых:
[
\frac{93}{248} \approx 0.375
]
Ответ:
[
\boxed{Вероятность \approx 0,38}
]
(округлено до двух знаков после запятой).
Если нужно построить дерево более подробно или есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
