Давайте решим задачу поэтапно, подробно объясняя каждый шаг.

---

Дано:

• В треугольнике \( ABC \):
  • Угол \( \angle A = 140^\circ \)
  • Угол \( \angle C = 120^\circ \)

Требуется: a) Докажите, что треугольник \( ABC \) равнобедренный, и найдите его боковые стороны (стороны, противоположные равным углам).
б) Найдите углы, на которые делит медиана \( AM \) угол \( \angle A \), где \( M \) — середина стороны \( BC \).

---

Шаг 1: Найдём третий угол \( \angle B \)

В каждом треугольнике сумма внутренних углов равна \( 180^\circ \),
поэтому:

\[ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 140^\circ - 120^\circ \]

Вычислим:

\[ \angle B = 180^\circ - 260^\circ = -80^\circ \]

Это невозможно, так как угол не может быть отрицательным.

---

Вывод:
На основании данных углов \( \angle A = 140^\circ \) и \( \angle C = 120^\circ \), сумма этих двух углов уже составляет \( 260^\circ \), что больше 180°, а сумма всех треугольных углов должна равняться 180°.

Следовательно, такой треугольник невозможен. Или данные в условии противоречивы, или допущена ошибка в условии.

---

Возможное уточнение:

В момент передачи задачи, возможно, имелось в виду, что угол \( C \) равен 120°, а угол \( A \) равен 40°, что бы сумма была 180°.

---

Допустим, что:

• \( \angle A = 40^\circ \),
• \( \angle C = 120^\circ \).

Тогда: \[ \angle B = 180^\circ - 40^\circ - 120^\circ = 20^\circ \]

Теперь сумма всех углов равна 180°, и треугольник возможен.

---

Решение для этих уточняющих данных:

Дано:
\[ \angle A = 40^\circ,\quad \angle C=120^\circ,\quad \angle B=20^\circ \]

---

Часть a): Докажите, что треугольник \( ABC \) равнобедренный и найдите его боковые стороны.

Шаг 2: Определение сторон

Обозначим стороны:

• \( a = BC \) — против стороны \( \angle A \),
• \( b = AC \) — против стороны \( \angle B \),
• \( c = AB \) — против стороны \( \angle C \).

По теореме о соотношении сторон и углов:

• стороны, противоположные равным углам, равны.
• в данном случае: \( \angle A =40^\circ \), \( \angle C=120^\circ \), \( \angle B=20^\circ \).

Так как углы \( A \) и \( B \) очень малы, а \( C \) — очень большой, то:

• \( c = AB \) против \( \angle C=120^\circ \),
• \( a = BC \), против \( \angle A=40^\circ \),
• \( b=AC \), против \( \angle B=20^\circ \).

Шаг 3: докажем, что треугольник равнобедренный

Рассмотрим углы \( \angle A = 40^\circ \) и \( \angle B = 20^\circ \).
Углы не равны, следовательно, стороны, противоположные им, не равны.

Аналогично, угол \( C=120^\circ \) — очень большой, а стороны, против неё, — самые длинные.

Вероятно, условие говорит о другом предложении.

---

Итог:

Поскольку данные противоречивы, предположим, что правильные углы:

• \( \angle A = 40^\circ \),
• \( \angle C = 120^\circ \),
• \( \angle B = 20^\circ \).

Именно так. Тогда:

Ответ на часть a:

1. Доказательство, что треугольник равнобедренный:
   В данном случае, так как \( \angle C \) большой, сторона \( AB \) — противоположна углу \( C \), будет самой длинной.
   Углы \( A \) и \( B \) — не равны, следовательно, их противолежащие стороны тоже не равны.

   Значит, учитывая эти данные, треугольник НЕ является равнобедренным.

Если он равнобедренный, это возможно, при условии, что \( \angle A = \angle B \), тогда стороны, противоположные этим углам, равны.

---

Итоговая версия решения, предполагая новые углы:

---

Итоги и решение

Условие (предположительно корректное):

• \( \angle A = 40^\circ \),
• \( \angle C = 120^\circ \),
• \( \angle B = 20^\circ \).

---

а) Докажите, что треугольник \( ABC \) равнобедренный и найдите его боковые стороны

Ответ:
Так как \( \angle A \neq \angle B \), стороны против них тоже не равны. Следовательно, треугольник не равнобедренный.

Но, если условие имело в виду, что: "если угол \( A \) равен \( C \)", то треугольник был бы равнобедренным.

---

Б — 1 часть: Найти боковые стороны \( a, b, c \)

Используем закон синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, \] где \( R \) — радиус описанной окружности.

Подставим значения:

\[ a = 2R \sin 40^\circ, \] \[ b = 2R \sin 20^\circ, \] \[ c = 2R \sin 120^\circ. \]

Обозначим \( 2R = k \).

Тогда стороны:

\[ a = k \sin 40^\circ, \] \[ b = k \sin 20^\circ, \] \[ c = k \sin 120^\circ. \]

---

б) часть: Найти углы, на которые делит медиана \( AM \) угол \( \angle A \)

Шаг 4: Что такое медиана \( AM \)?

• \( M \) — середина \( BC \),
• \( AM \) — медиана, делящая сторону \( BC \) пополам.

Шаг 5: Как найти углы, на которые делит медиана \( AM \) угол \( \angle A \)?

Медиана делит сторону \( BC \), but угол \( \angle A \) — вершина, и медиана \( AM \) — из вершины \( A \).

Положение медианы внутри треугольника делит внутренний угол \( \angle A \) на два меньших.
Но по условию нужно найти углы, на которые делит медиана \( AM \) угол \( \angle A \).

Это результат — медиана делит внутренний угол \( A \) в определённых пропорциях, связанные с длинами сторон, или по формуле:

\[ \text{Проектор } M \text{ делит } \angle A \text{ на два угла:} \]

\[ \alpha = \arctg \left(\frac{b}{c}\right), \quad \beta = \arctg \left(\frac{c}{b}\right), \] или используют свойства деления углов медианой.

---

Итог:

Задача достаточно усложнена и содержит существенные противоречия. Если есть возможность уточнить исходные данные, я могу помочь с более точным решением.

---

Если у вас есть изображение задачи или дополнительные сведения — пришлите их, и я помогу более конкретно!