Решить дифференциальное уравнение 2 порядка, допускающее понижение степени y"=1-3x+x^2

Дано дифференциальное уравнение второго порядка:

\[ y'' = 1 - 3x + x^2 \]

Шаг 1: Найдём общее решение однородного уравнения

Запишем однородное уравнение:

\[ y'' = 0 \]

Общее решение этого уравнения:

\[ y_h = A x + B \]

где \( A \) и \( B \) — произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдём частное решение уравнения

Права часть \( 1 - 3x + x^2 \) — полином степени 2, поэтому предполагаем, что частное решение будет полиномом степени 4 (так как дифференцирование по сути уменьшит степень на 2). Для этого записываем:

\[ y_p = \alpha x^4 + \beta x^3 + \gamma x^2 + \delta x + \varepsilon \]

Найдем его первую и вторую производные:

\[ \begin{aligned} y_p' &= 4 \alpha x^3 + 3 \beta x^2 + 2 \gamma x + \delta \\ y_p'' &= 12 \alpha x^2 + 6 \beta x + 2 \gamma \end{aligned} \]

Подставляем \( y_p'' \) в уравнение:

\[ 12 \alpha x^2 + 6 \beta x + 2 \gamma = 1 - 3x + x^2 \]

Приравниваем коэффициенты:

\[ \begin{cases} x^2: & 12 \alpha = 1 \\ x^1: & 6 \beta = -3 \\ x^0: & 2 \gamma = 1 \end{cases} \]

Решаем:

\[ \begin{aligned} \alpha &= \frac{1}{12} \\ \beta &= -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2} \\ \gamma &= \frac{1}{2} \end{aligned} \]

Коэффициенты \( \delta \) и \( \varepsilon \) не участвуют в уравнении, значит они могут принимать произвольные значения, но так как они не влияют на левую часть, их можно считать равными нулю для получения частного решения.

Следовательно, частное решение:

\[ y_p = \frac{1}{12} x^4 - \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{2} x^2 \]

Шаг 3: Общий раствор

Общий интеграл уравнения — сумма общего решения однородного уравнения и частного решения:

\[ \boxed{ y = A x + B + \frac{1}{12} x^4 - \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{2} x^2 } \]

где \( A, B \) — произвольные постоянные.