Исследовать функцию f(x)=x3-3x и построить ее график

Для исследования функции \(f(x) = x^3 - 3x\) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Область определения: функция определена для всех \(x \in \mathbb{R}\).

2. Найти критические точки (точки экстремума):

   • Найдём первую производную: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) \]
   • Приравняем её к нулю: \[ 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1 \]

3. Определить характер критических точек:

   • Найдём вторую производную: \[ f''(x) = 6x \]
   • Для \(x = -1\): \[ f''(-1) = -6 < 0 \implies \text{точка } x=-1 \text{ является точкой максимума} \]
   • Для \(x=1\): \[ f''(1) = 6 > 0 \implies \text{точка } x=1 \text{ является точкой минимума} \]

4. Найти значения функции в критических точках:

   • В точке \(x=-1\): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \]
   • В точке \(x=1\): \[ f(1) = 1 - 3 = -2 \]

5. Асимптоты и поведение функции на бесконечности:

   • При \(x \to +\infty\): \[ f(x) \to +\infty \]
   • При \(x \to -\infty\): \[ f(x) \to -\infty \]

6. Промежуточные значения:

   • Для понимания общей формы графика можно выбрать несколько точек:
     • \(x=0\): \(f(0)=0\)
     • \(x=-2\): \(f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6= -2\)
     • \(x=2\): \(f(2) = 8 - 6= 2\)

7. Общий вывод:

   • График функции — характерная кривая кубической функции,
   • Есть один локальный максимум в точке \((-1, 2)\) и один локальный минимум в точке \((1, -2)\),
   • График похоже на лежащую на боку букву "Soul" или с зеркальной симметрией относительно точки \((-1, 2)\) и \((1, -2)\).

Построение графика:

• Отметьте точки экстремума: \(x=-1\), \(f=2\); \(x=1\), \(f=-2\).
• Проведите кривую, проходящую через эти точки, учитывая асимптотическое поведение:
  • \(f(x) \to -\infty\) при \(x \to -\infty\),
  • \(f(x) \to +\infty\) при \(x \to +\infty\).

Если вам нужно более точное построение, можно воспользоваться графическими калькуляторами или программами (например, Desmos, GeoGebra), для визуализации.

Если есть дополнительные вопросы или требуется более детальное объяснение — обращайтесь!