Исследовать функцию f(x)=x3-3x и построить ее график

Для исследования функции \(f(x) = x^3 - 3x\) необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Область определения**: функция определена для всех \(x \in \mathbb{R}\). 2. **Найти критические точки (точки экстремума)**: - Найдём первую производную: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) \] - Приравняем её к нулю: \[ 3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1 \] 3. **Определить характер критических точек**: - Найдём вторую производную: \[ f''(x) = 6x \] - Для \(x = -1\): \[ f''(-1) = -6 < 0 \implies \text{точка } x=-1 \text{ является точкой максимума} \] - Для \(x=1\): \[ f''(1) = 6 > 0 \implies \text{точка } x=1 \text{ является точкой минимума} \] 4. **Найти значения функции в критических точках**: - В точке \(x=-1\): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \] - В точке \(x=1\): \[ f(1) = 1 - 3 = -2 \] 5. **Асимптоты и поведение функции на бесконечности**: - При \(x \to +\infty\): \[ f(x) \to +\infty \] - При \(x \to -\infty\): \[ f(x) \to -\infty \] 6. **Промежуточные значения**: - Для понимания общей формы графика можно выбрать несколько точек: - \(x=0\): \(f(0)=0\) - \(x=-2\): \(f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) = -8 + 6= -2\) - \(x=2\): \(f(2) = 8 - 6= 2\) 7. **Общий вывод**: - График функции — характерная кривая кубической функции, - Есть один локальный максимум в точке \((-1, 2)\) и один локальный минимум в точке \((1, -2)\), - График похоже на лежащую на боку букву "Soul" или с зеркальной симметрией относительно точки \((-1, 2)\) и \((1, -2)\). --- **Построение графика**: - Отметьте точки экстремума: \(x=-1\), \(f=2\); \(x=1\), \(f=-2\). - Проведите кривую, проходящую через эти точки, учитывая асимптотическое поведение: - \(f(x) \to -\infty\) при \(x \to -\infty\), - \(f(x) \to +\infty\) при \(x \to +\infty\). --- Если вам нужно более точное построение, можно воспользоваться графическими калькуляторами или программами (например, Desmos, GeoGebra), для визуализации. --- Если есть дополнительные вопросы или требуется более детальное объяснение — обращайтесь!