Y=√-x^2+2x+3

Давайте разберемся с выражением \( y = \sqrt{-x^2 + 2x + 3} \). Цель — понять, как устроена эта функция, и при каких условиях она определена. --- ### Шаг 1. Определение области определения функции Так как у нас подкоренное выражение — \( -x^2 + 2x + 3 \), то оно должно быть **неотрицательным**, чтобы корень был определен (в реальных числах). Получаем неравенство: \[ -x^2 + 2x + 3 \ge 0 \] Перепишем его для удобства: \[ -(x^2 - 2x - 3) \ge 0 \] или \[ x^2 - 2x - 3 \le 0 \] --- ### Шаг 2. Решение неравенства Рассмотрим квадратное уравнение: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Найдем его корни с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=1 \), \( b=-2 \), \( c=-3 \). Подставим: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] Поскольку квадратичная функция \( x^2 - 2x - 3 \) параболой раскрыта вверх, то выражение \( x^2 - 2x - 3 \le 0 \) выполняется на промежутке между корнями: \[ -1 \le x \le 3 \] **Область определения функции:** \[ \boxed{ x \in [-1, 3] } \] --- ### Шаг 3. Вариантный разбор функции Функция: \[ y = \sqrt{-x^2 + 2x + 3} \] может быть записана как: \[ y = \sqrt{N(x)} \] где \( N(x) = -x^2 + 2x + 3 \). Это — верхняя часть параболы с вершиной в точке, которую можно найти. --- ### Шаг 4. Нахождение вершины параболы \( N(x) \) Парабола \( N(x) \) имеет вид: \[ N(x) = -x^2 + 2x + 3 \] вершина такой параболы находится по формуле: \[ x_{вершины} = - \frac{b}{2a} = - \frac{2}{2 \cdot (-1)} = - \frac{2}{-2} = 1 \] Найдем значение функции в точке \( x=1 \): \[ N(1) = -(1)^2 + 2 \times 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \] Итак, вершина параболы находится в точке \( (1, 4) \). Это — максимум функции \( N(x) \), и в области определения \( y \) достигает максимума по \( y \): \[ y_{max} = \sqrt{4} = 2 \] --- ### Итог: - **Область определения:** \( x \in [-1, 3] \) - **Значения функции:** \( y \ge 0 \), так как подкоренное выражение неотрицательно. - **Максимум функции:** при \( x=1 \), \( y=2 \). --- ### Итоги: Функция задана на интервале \([-1, 3]\), и график — часть параболы \( -x^2 + 2x + 3 \) под корнем, взятая сверху. Если нужно, я могу помочь построить график или более подробно разобраться с конкретными значениями! --- Если есть дополнительные вопросы — скажи!