y=√-x^2+2x+3

Давайте разберемся с выражением \( y = \sqrt{-x^2 + 2x + 3} \).

Цель — понять, как устроена эта функция, и при каких условиях она определена.

Шаг 1. Определение области определения функции

Так как у нас подкоренное выражение — \( -x^2 + 2x + 3 \), то оно должно быть неотрицательным, чтобы корень был определен (в реальных числах).

Получаем неравенство: \[ -x^2 + 2x + 3 \ge 0 \]

Перепишем его для удобства: \[ -(x^2 - 2x - 3) \ge 0 \] или \[ x^2 - 2x - 3 \le 0 \]

Шаг 2. Решение неравенства

Рассмотрим квадратное уравнение: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Найдем его корни с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a=1 \), \( b=-2 \), \( c=-3 \).

Подставим: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \]

Поскольку квадратичная функция \( x^2 - 2x - 3 \) параболой раскрыта вверх, то выражение \( x^2 - 2x - 3 \le 0 \) выполняется на промежутке между корнями: \[ -1 \le x \le 3 \]

Область определения функции: \[ \boxed{ x \in [-1, 3] } \]

Шаг 3. Вариантный разбор функции

Функция: \[ y = \sqrt{-x^2 + 2x + 3} \]

может быть записана как: \[ y = \sqrt{N(x)} \] где \( N(x) = -x^2 + 2x + 3 \).

Это — верхняя часть параболы с вершиной в точке, которую можно найти.

Шаг 4. Нахождение вершины параболы \( N(x) \)

Парабола \( N(x) \) имеет вид: \[ N(x) = -x^2 + 2x + 3 \] вершина такой параболы находится по формуле: \[ x_{вершины} = - \frac{b}{2a} = - \frac{2}{2 \cdot (-1)} = - \frac{2}{-2} = 1 \]

Найдем значение функции в точке \( x=1 \): \[ N(1) = -(1)^2 + 2 \times 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \]

Итак, вершина параболы находится в точке \( (1, 4) \).

Это — максимум функции \( N(x) \), и в области определения \( y \) достигает максимума по \( y \): \[ y_{max} = \sqrt{4} = 2 \]

Итог:

• Область определения: \( x \in [-1, 3] \)
• Значения функции: \( y \ge 0 \), так как подкоренное выражение неотрицательно.
• Максимум функции: при \( x=1 \), \( y=2 \).

Итоги:

Функция задана на интервале \([-1, 3]\), и график — часть параболы \( -x^2 + 2x + 3 \) под корнем, взятая сверху.

Если нужно, я могу помочь построить график или более подробно разобраться с конкретными значениями!

Если есть дополнительные вопросы — скажи!