числовой набор имеет вид x,1,2,3,4. А. выразите через x среднее, дисперсию и стандартное отклонение данного числового набора. Б. при каком значении x дисперсия числового набора…
Числовой набор имеет вид x,1,2,3,4. А. выразите через x среднее, дисперсию и стандартное отклонение данного числового набора. Б. при каком значении x дисперсия числового набора будет равна 7?
Рассмотрим числовой набор: x, 1, 2, 3, 4.
Часть А: выражение среднего, дисперсии и стандартного отклонения через x
1. Среднее арифметическое (μ):
Среднее равно сумме всех чисел, делённой на их количество.
Количество элементов: 5.
\[ \mu = \frac{x + 1 + 2 + 3 + 4}{5} = \frac{x + 10}{5} \]
2. Дисперсия (D):
Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений каждого элемента от среднего.
\[ D = \frac{(x - \mu)^2 + (1 - \mu)^2 + (2 - \mu)^2 + (3 - \mu)^2 + (4 - \mu)^2}{5} \]
Подставим \(\mu = \frac{x + 10}{5}\):
\[ D = \frac{\left(x - \frac{x+10}{5}\right)^2 + \left(1 - \frac{x+10}{5}\right)^2 + \left(2 - \frac{x+10}{5}\right)^2 + \left(3 - \frac{x+10}{5}\right)^2 + \left(4 - \frac{x+10}{5}\right)^2}{5} \]
Упростим каждое выражение:
- \( x - \frac{x+10}{5} = \frac{5x - (x+10)}{5} = \frac{4x - 10}{5} \)
- \( 1 - \frac{x+10}{5} = \frac{5 - (x+10)}{5} = \frac{-x - 5}{5} \)
- \( 2 - \frac{x+10}{5} = \frac{10 - (x+10)}{5} = \frac{-x}{5} \)
- \( 3 - \frac{x+10}{5} = \frac{15 - (x+10)}{5} = \frac{5 - x}{5} \)
- \( 4 - \frac{x+10}{5} = \frac{20 - (x+10)}{5} = \frac{10 - x}{5} \)
Теперь возьмём квадраты:
\[ \begin{aligned} \left(\frac{4x - 10}{5}\right)^2 &= \frac{(4x - 10)^2}{25} \\ \left(\frac{-x - 5}{5}\right)^2 &= \frac{(-x - 5)^2}{25} \\ \left(\frac{-x}{5}\right)^2 &= \frac{x^2}{25} \\ \left(\frac{5 - x}{5}\right)^2 &= \frac{(5 - x)^2}{25} \\ \left(\frac{10 - x}{5}\right)^2 &= \frac{(10 - x)^2}{25} \end{aligned} \]
Подставляем все в формулу для дисперсии:
\[ D = \frac{1}{5}\left[\frac{(4x - 10)^2 + (-x - 5)^2 + x^2 + (5 - x)^2 + (10 - x)^2}{25}\right] \]
Вынесем 1/25 за скобки:
\[ D = \frac{1}{125}\left[(4x - 10)^2 + (-x - 5)^2 + x^2 + (5 - x)^2 + (10 - x)^2\right] \]
Часть Б: при каком x дисперсия равна 7?
Теперь нужно решить уравнение:
\[ \frac{1}{125} \left[ (4x - 10)^2 + (-x - 5)^2 + x^2 + (5 - x)^2 + (10 - x)^2 \right] = 7 \]
Умножим обе части на 125:
\[ (4x - 10)^2 + (-x - 5)^2 + x^2 + (5 - x)^2 + (10 - x)^2 = 875 \]
Раскроем квадраты:
- \((4x - 10)^2 = 16x^2 - 80x + 100\)
- \((-x - 5)^2 = x^2 + 10x + 25\)
- \(x^2\) остается как есть
- \((5 - x)^2 = x^2 - 10x + 25\)
- \((10 - x)^2 = x^2 - 20x + 100\)
Складываем всё:
\[ 16x^2 - 80x + 100 + x^2 + 10x + 25 + x^2 + x^2 - 10x + 25 + x^2 - 20x + 100 = 875 \]
Объединяем подобные слагаемые:
- Коэффициенты \(x^2\):
\[ 16x^2 + x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = (16 + 1 + 1 + 1 + 1) x^2 = 20x^2 \]
- Коэффициенты \(x\):
\[ -80x + 10x - 10x - 20x = -80x + (10x - 10x) - 20x = -80x - 20x = -100x \]
- Свободные члены:
\[ 100 + 25 + 25 + 100 = 250 \]
Теперь уравнение:
\[ 20x^2 - 100x + 250 = 875 \]
Вычитаем 875 из обеих частей:
\[ 20x^2 - 100x + 250 - 875 = 0 \]
\[ 20x^2 - 100x - 625 = 0 \]
Делим всю уравнение на 5 для упрощения:
\[ 4x^2 - 20x - 125 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение:
\[ x = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-125)}}{2 \cdot 4} \]
Вычисляем дискриминант:
\[ D = 400 - 4 \cdot 4 \cdot (-125) = 400 + 2000 = 2400 \]
Находим корни:
\[ x = \frac{20 \pm \sqrt{2400}}{8} \]
\(\sqrt{2400} = \sqrt{2400} \approx 48.989...\)
Итак,
\[ x \approx \frac{20 \pm 48.989}{8} \]
Получаем два решения:
- \(x \approx \frac{20 + 48.989}{8} \approx \frac{68.989}{8} \approx 8.6236 \)
- \(x \approx \frac{20 - 48.989}{8} \approx \frac{-28.989}{8} \approx -3.6236 \)
Итог:
Среднее: \(\mu = \frac{x+10}{5}\)
Дисперсия: \(\displaystyle D = \frac{(4x - 10)^2 + (-x - 5)^2 + x^2 + (5 - x)^2 + (10 - x)^2}{125}\)
Значения x, при которых дисперсия равна 7: примерно \( x \approx 8.62 \) или \( x \approx -3.62 \).
