Числовой набор имеет вид x,1,2,3,4. А. выразите через x среднее, дисперсию и стандартное отклонение данного числового набора. Б. при каком значении x дисперсия числового набора будет равна 7?

Рассмотрим числовой набор: x, 1, 2, 3, 4. --- ### Часть А: выражение среднего, дисперсии и стандартного отклонения через x #### 1. Среднее арифметическое (μ): Среднее равно сумме всех чисел, делённой на их количество. Количество элементов: 5. \[ \mu = \frac{x + 1 + 2 + 3 + 4}{5} = \frac{x + 10}{5} \] --- #### 2. Дисперсия (D): Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений каждого элемента от среднего. \[ D = \frac{(x - \mu)^2 + (1 - \mu)^2 + (2 - \mu)^2 + (3 - \mu)^2 + (4 - \mu)^2}{5} \] Подставим \(\mu = \frac{x + 10}{5}\): \[ D = \frac{\left(x - \frac{x+10}{5}\right)^2 + \left(1 - \frac{x+10}{5}\right)^2 + \left(2 - \frac{x+10}{5}\right)^2 + \left(3 - \frac{x+10}{5}\right)^2 + \left(4 - \frac{x+10}{5}\right)^2}{5} \] Упростим каждое выражение: - \( x - \frac{x+10}{5} = \frac{5x - (x+10)}{5} = \frac{4x - 10}{5} \) - \( 1 - \frac{x+10}{5} = \frac{5 - (x+10)}{5} = \frac{-x - 5}{5} \) - \( 2 - \frac{x+10}{5} = \frac{10 - (x+10)}{5} = \frac{-x}{5} \) - \( 3 - \frac{x+10}{5} = \frac{15 - (x+10)}{5} = \frac{5 - x}{5} \) - \( 4 - \frac{x+10}{5} = \frac{20 - (x+10)}{5} = \frac{10 - x}{5} \) Теперь возьмём квадраты: \[ \begin{aligned} \left(\frac{4x - 10}{5}\right)^2 &= \frac{(4x - 10)^2}{25} \\ \left(\frac{-x - 5}{5}\right)^2 &= \frac{(-x - 5)^2}{25} \\ \left(\frac{-x}{5}\right)^2 &= \frac{x^2}{25} \\ \left(\frac{5 - x}{5}\right)^2 &= \frac{(5 - x)^2}{25} \\ \left(\frac{10 - x}{5}\right)^2 &= \frac{(10 - x)^2}{25} \end{aligned} \] Подставляем все в формулу для дисперсии: \[ D = \frac{1}{5}\left[\frac{(4x - 10)^2 + (-x - 5)^2 + x^2 + (5 - x)^2 + (10 - x)^2}{25}\right] \] Вынесем 1/25 за скобки: \[ D = \frac{1}{125}\left[(4x - 10)^2 + (-x - 5)^2 + x^2 + (5 - x)^2 + (10 - x)^2\right] \] --- ### Часть Б: при каком x дисперсия равна 7? Теперь нужно решить уравнение: \[ \frac{1}{125} \left[ (4x - 10)^2 + (-x - 5)^2 + x^2 + (5 - x)^2 + (10 - x)^2 \right] = 7 \] Умножим обе части на 125: \[ (4x - 10)^2 + (-x - 5)^2 + x^2 + (5 - x)^2 + (10 - x)^2 = 875 \] Раскроем квадраты: 1. \((4x - 10)^2 = 16x^2 - 80x + 100\) 2. \((-x - 5)^2 = x^2 + 10x + 25\) 3. \(x^2\) остается как есть 4. \((5 - x)^2 = x^2 - 10x + 25\) 5. \((10 - x)^2 = x^2 - 20x + 100\) Складываем всё: \[ 16x^2 - 80x + 100 + x^2 + 10x + 25 + x^2 + x^2 - 10x + 25 + x^2 - 20x + 100 = 875 \] Объединяем подобные слагаемые: - Коэффициенты \(x^2\): \[ 16x^2 + x^2 + x^2 + x^2 + x^2 = (16 + 1 + 1 + 1 + 1) x^2 = 20x^2 \] - Коэффициенты \(x\): \[ -80x + 10x - 10x - 20x = -80x + (10x - 10x) - 20x = -80x - 20x = -100x \] - Свободные члены: \[ 100 + 25 + 25 + 100 = 250 \] Теперь уравнение: \[ 20x^2 - 100x + 250 = 875 \] Вычитаем 875 из обеих частей: \[ 20x^2 - 100x + 250 - 875 = 0 \] \[ 20x^2 - 100x - 625 = 0 \] Делим всю уравнение на 5 для упрощения: \[ 4x^2 - 20x - 125 = 0 \] Решаем квадратное уравнение: \[ x = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-125)}}{2 \cdot 4} \] Вычисляем дискриминант: \[ D = 400 - 4 \cdot 4 \cdot (-125) = 400 + 2000 = 2400 \] Находим корни: \[ x = \frac{20 \pm \sqrt{2400}}{8} \] \(\sqrt{2400} = \sqrt{2400} \approx 48.989...\) Итак, \[ x \approx \frac{20 \pm 48.989}{8} \] Получаем два решения: 1. \(x \approx \frac{20 + 48.989}{8} \approx \frac{68.989}{8} \approx 8.6236 \) 2. \(x \approx \frac{20 - 48.989}{8} \approx \frac{-28.989}{8} \approx -3.6236 \) --- ### Итог: - **Среднее:** \(\mu = \frac{x+10}{5}\) - **Дисперсия:** \(\displaystyle D = \frac{(4x - 10)^2 + (-x - 5)^2 + x^2 + (5 - x)^2 + (10 - x)^2}{125}\) - **Значения x, при которых дисперсия равна 7:** примерно \( x \approx 8.62 \) или \( x \approx -3.62 \).