В двух театрах 70 70 костюмов. Первый передал половину своих костюмов второму на время спектакля. Тогда в первом театре стало в 4 4 раза меньше костюмов, чем во втором. Сколько…

Обозначим через \(x\) количество костюмов в первом театре, а через \(y\) — во втором театре.

Из условия известно, что всего костюмов было 70: \[ x + y = 70 \]

Первый театр передал половину своих костюмов второму: \[ \text{Передано} = \frac{x}{2} \]

После передачи состояние театров:

• В первом театре осталось: \(x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2}\)
• Во втором прибавилось: \(y + \frac{x}{2}\)

По условию, в первом театре стало в 4 раза меньше костюмов, чем во втором: \[ \frac{x}{2} = 4 \left( y + \frac{x}{2} \right) \]

Теперь решим систему уравнений.

1. Изначально: \[ x + y = 70 \]
2. Уравнение после передачи: \[ \frac{x}{2} = 4 \left( y + \frac{x}{2} \right) \]

Раскроем скобки: \[ \frac{x}{2} = 4y + 2x \]

Перенесем все члены в одну сторону: \[ \frac{x}{2} - 2x = 4y \]

Обозначим левую часть через общие дроби: \[ \frac{x}{2} - 2x = \frac{x}{2} - \frac{4x}{2} = -\frac{3x}{2} \]

Следовательно: \[ -\frac{3x}{2} = 4y \]

или \[ 4y = -\frac{3x}{2} \]

Отсюда выражаем \(y\): \[ y = -\frac{3x}{8} \]

Заметим, что число костюмов не может быть отрицательным, значит, наше уравнение дает отрицательное значение \(y\) — противоречие, что говорит о неправильном построении уравнений.

Проверим интерпретацию задачи.

Поскольку после передачи костюмов первый театр уменьшился, а второй увеличился, и условие говорит, что в первом стало в 4 раза меньше костюмов, чем во втором, вероятно, правильнее записать:

Можно предположить, что при передаче:

• в первом театре осталось \(x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2}\)
• во втором — \(y + \frac{x}{2}\)

И в данном случае, условие "там стало в 4 раза меньше" означает:

\[ \frac{x}{2} = \frac{1}{4} \left( y + \frac{x}{2} \right) \]

Тогда получаем уравнение: \[ \frac{x}{2} = \frac{1}{4} y + \frac{x}{8} \]

Переносим \(\frac{x}{8}\) в левую часть: \[ \frac{x}{2} - \frac{x}{8} = \frac{1}{4} y \]

Приводим левую часть к общему знаменателю 8: \[ \frac{4x}{8} - \frac{x}{8} = \frac{1}{4} y \] \[ \frac{3x}{8} = \frac{1}{4} y \]

Умножим обе части на 4: \[ \frac{12x}{8} = y \] \[ \frac{3x}{2} = y \]

Теперь осталась сумма костюмов: \[ x + y = 70 \] Подставим \(y = \frac{3x}{2}\): \[ x + \frac{3x}{2} = 70 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{2x}{2} + \frac{3x}{2} = 70 \] \[ \frac{5x}{2} = 70 \] Умножим обе части на 2: \[ 5x = 140 \] \[ x = 28 \]

Найдем \(y\): \[ y = \frac{3 \times 28}{2} = \frac{84}{2} = 42 \]

Итак, в первом театре было 28 костюмов, во втором — 42 костюма.

Проверим:

• После передачи в первом театре осталось \(28 - 14 = 14\)
• Во втором стало \(42 + 14 = 56\)

Соответствует условию: в первом стало в 4 раза меньше, чем во втором: \[ 14 \times 4 = 56 \]

Все верно!

Ответ: в первом театре было 28 костюмов, во втором — 42.