В двух театрах  70 70 костюмов. Первый передал половину своих костюмов второму на время спектакля. Тогда в первом театре стало в  4 4 раза меньше костюмов, чем во втором. Сколько костюмов было в каждом из них?

Обозначим через \(x\) количество костюмов в первом театре, а через \(y\) — во втором театре. Из условия известно, что всего костюмов было 70: \[ x + y = 70 \] Первый театр передал половину своих костюмов второму: \[ \text{Передано} = \frac{x}{2} \] После передачи состояние театров: - В первом театре осталось: \(x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2}\) - Во втором прибавилось: \(y + \frac{x}{2}\) По условию, в первом театре стало в 4 раза меньше костюмов, чем во втором: \[ \frac{x}{2} = 4 \left( y + \frac{x}{2} \right) \] Теперь решим систему уравнений. 1. Изначально: \[ x + y = 70 \] 2. Уравнение после передачи: \[ \frac{x}{2} = 4 \left( y + \frac{x}{2} \right) \] Раскроем скобки: \[ \frac{x}{2} = 4y + 2x \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ \frac{x}{2} - 2x = 4y \] Обозначим левую часть через общие дроби: \[ \frac{x}{2} - 2x = \frac{x}{2} - \frac{4x}{2} = -\frac{3x}{2} \] Следовательно: \[ -\frac{3x}{2} = 4y \] или \[ 4y = -\frac{3x}{2} \] Отсюда выражаем \(y\): \[ y = -\frac{3x}{8} \] Заметим, что число костюмов не может быть отрицательным, значит, наше уравнение дает отрицательное значение \(y\) — противоречие, что говорит о неправильном построении уравнений. Проверим интерпретацию задачи. Поскольку после передачи костюмов первый театр уменьшился, а второй увеличился, и условие говорит, что в первом стало в 4 раза меньше костюмов, чем во втором, вероятно, правильнее записать: Можно предположить, что при передаче: - в первом театре осталось \(x - \frac{x}{2} = \frac{x}{2}\) - во втором — \(y + \frac{x}{2}\) И в данном случае, условие "там стало в 4 раза меньше" означает: \[ \frac{x}{2} = \frac{1}{4} \left( y + \frac{x}{2} \right) \] Тогда получаем уравнение: \[ \frac{x}{2} = \frac{1}{4} y + \frac{x}{8} \] Переносим \(\frac{x}{8}\) в левую часть: \[ \frac{x}{2} - \frac{x}{8} = \frac{1}{4} y \] Приводим левую часть к общему знаменателю 8: \[ \frac{4x}{8} - \frac{x}{8} = \frac{1}{4} y \] \[ \frac{3x}{8} = \frac{1}{4} y \] Умножим обе части на 4: \[ \frac{12x}{8} = y \] \[ \frac{3x}{2} = y \] Теперь осталась сумма костюмов: \[ x + y = 70 \] Подставим \(y = \frac{3x}{2}\): \[ x + \frac{3x}{2} = 70 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{2x}{2} + \frac{3x}{2} = 70 \] \[ \frac{5x}{2} = 70 \] Умножим обе части на 2: \[ 5x = 140 \] \[ x = 28 \] Найдем \(y\): \[ y = \frac{3 \times 28}{2} = \frac{84}{2} = 42 \] Итак, в первом театре было **28** костюмов, во втором — **42** костюма. Проверим: - После передачи в первом театре осталось \(28 - 14 = 14\) - Во втором стало \(42 + 14 = 56\) Соответствует условию: в первом стало в 4 раза меньше, чем во втором: \[ 14 \times 4 = 56 \] Все верно! **Ответ:** в первом театре было 28 костюмов, во втором — 42.