Два одинаковых шара движутся по взаимно перпендикулярным направлениям со скоростями, модули которых отличаются в 2 раза, и абсолютно неупруго сталкиваются друг с другом. Какая…

Давайте разберем задачу по шагам, чтобы понять, какая часть кинетической энергии переходит в тепло при абсолютно неупругом столкновении двух шаров, движущихся по взаимно перпендикулярным направлениям с разными скоростями.

Дано:

• Два шара одинакового радиуса и массы \( m \).
• Скорости шаров:
  • Первый шар — скорость \( v_1 \).
  • Второй шар — скорость \( v_2 \).
• Модуль скорости второго шара в 2 раза больше первого:
  \[ v_2 = 2 v_1 \]
• Столкновение абсолютно неупругое, то есть после столкновения шары движутся с одной скоростью (прилипание).

Шаг 1: Определение известных данных

Массы:
\[ m_1 = m_2 = m \]

Скорости:
\[ v_1 = v, \quad v_2 = 2v \]

Шаг 2: Рассмотрение начальной кинетической энергии системы

Кинетическая энергия каждого шара:
\[ K_1 = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m v^2 \] \[ K_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (2v)^2 = \frac{1}{2} m \cdot 4 v^2 = 2 m v^2 \]

Общая начальная кинетическая энергия:
\[ K_{\text{нач}} = K_1 + K_2 = \frac{1}{2} m v^2 + 2 m v^2 = \frac{1}{2} m v^2 + 2 m v^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{4}{2} m v^2 = \frac{5}{2} m v^2 \]

Шаг 3: Расчет скорости системы после столкновения

При абсолютной неупругости шары слипаются и движутся с одной скоростью \( v_f \).

Для определения \( v_f \) используем закон сохранения импульса в системе:

Пусть
\( \vec{v}_1 = (v, 0) \),
\( \vec{v}_2 = (0, 2v) \).

Тогда начальный импульс:
\[ \vec{P}_\text{нач} = m \vec{v}_1 + m \vec{v}_2 = m (v, 0) + m (0, 2v) = (m v, 2 m v) \]

Общий импульс — вектор суммы компонентов.

Общий вектор конечной скорости:
\[ \vec{v}_f = \frac{\vec{P}_\text{нач}}{2m} = \frac{(m v, 2 m v)}{2m} = \left(\frac{v}{2}, v \right) \]

Модуль конечной скорости:
\[ v_f = \sqrt{\left(\frac{v}{2}\right)^2 + v^2} = \sqrt{\frac{v^2}{4} + v^2} = \sqrt{\frac{v^2}{4} + \frac{4 v^2}{4}} = \sqrt{\frac{5 v^2}{4}} = \frac{v \sqrt{5}}{2} \]

Шаг 4: Расчет конечной кинетической энергии после столкновения

Кинетическая энергия системы после столкновения:
\[ K_{\text{кон}} = 2 m \cdot \frac{v_f^2}{2} = m v_f^2 \]

Подставим \( v_f \):

\[ K_{\text{кон}} = m \left(\frac{v \sqrt{5}}{2}\right)^2 = m \frac{5 v^2}{4} = \frac{5}{4} m v^2 \]

Шаг 5: Определение части кинетической энергии, превращенной в тепло

Учитывая, что при полностью неупругом столкновении кинетическая энергия сохраняется не полностью (часть — переходит в тепло и деформацию), то разница между начальной и конечной кинетической энергией — это энергия, превращенная в тепло:

\[ \Delta K = K_{\text{нач}} - K_{\text{кон}} = \frac{5}{2} m v^2 - \frac{5}{4} m v^2 = \left(\frac{10}{4} m v^2 - \frac{5}{4} m v^2\right) = \frac{5}{4} m v^2 \]

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Доля энергии, перешедшая в тепло} = \frac{\Delta K}{K_{\text{нач}}} = \frac{\frac{5}{4} m v^2}{\frac{5}{2} m v^2} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{2}} = \frac{5/4}{5/2} = \frac{5/4 \times 2/5} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} } \]

То есть, половина кинетической энергии системы переходит в тепло.

Если нужно, я могу помочь дополнительно с объяснениями или более подробным разбором.