длина окружности основания конуса равна 7 образующая равна 2 .Найдите площадь боковой поверхности конуса
Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап.
Дано:
- Длина окружности основания конуса \( C = 7 \)
- Образующая \( l = 2 \)
Нам нужно найти площадь боковой поверхности конуса \( S_b \).
Шаг 1: Найти радиус основания \( r \)
Длина окружности основания конуса связана с радиусом формулой:
\[ C = 2 \pi r \]
Подставляем значение \( C = 7 \):
\[ 7 = 2 \pi r \]
Чтобы найти \( r \):
\[ r = \frac{7}{2 \pi} \]
Это и есть радиус основания.
Шаг 2: Найти высоту \( h \) конуса
Изобразим треугольник, образованный высотой \( h \), образующей \( l \) и радиусом \( r \). В этом треугольнике:
- гипотенуза — \( l = 2 \) (образующая)
- один катет — \( r = \frac{7}{2 \pi} \)
- другой катет — высота \( h \), которую нужно найти
По теореме Пифагора:
\[ l^2 = h^2 + r^2 \]
Подставляем значения:
\[ 2^2 = h^2 + \left( \frac{7}{2 \pi} \right)^2 \]
\[ 4 = h^2 + \frac{49}{4 \pi^2} \]
Выразим \( h^2 \):
\[ h^2 = 4 - \frac{49}{4 \pi^2} \]
Шаг 3: Найти площадь боковой поверхности
Формула площади боковой поверхности конуса:
\[ S_b = \pi r l \]
Уже известно:
\[ r = \frac{7}{2 \pi} \] \[ l = 2 \]
Подставляем:
\[ S_b = \pi \times \frac{7}{2 \pi} \times 2 \]
Упростим:
\[ S_b = \pi \times \frac{7}{2 \pi} \times 2 = \frac{7}{2} \times 2 = 7 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Площадь боковой поверхности} \, S_b = 7 } \]
Итак, площадь боковой поверхности конуса равна 7 единицам квадрата.
