Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап.
Дано:
- Длина окружности основания конуса ( C = 7 )
- Образующая ( l = 2 )
Нам нужно найти площадь боковой поверхности конуса ( S_b ).
Шаг 1: Найти радиус основания ( r )
Длина окружности основания конуса связана с радиусом формулой:
[
C = 2 \pi r
]
Подставляем значение ( C = 7 ):
[
7 = 2 \pi r
]
Чтобы найти ( r ):
[
r = \frac{7}{2 \pi}
]
Это и есть радиус основания.
Шаг 2: Найти высоту ( h ) конуса
Изобразим треугольник, образованный высотой ( h ), образующей ( l ) и радиусом ( r ). В этом треугольнике:
- гипотенуза — ( l = 2 ) (образующая)
- один катет — ( r = \frac{7}{2 \pi} )
- другой катет — высота ( h ), которую нужно найти
По теореме Пифагора:
[
l^2 = h^2 + r^2
]
Подставляем значения:
[
2^2 = h^2 + \left( \frac{7}{2 \pi} \right)^2
]
[
4 = h^2 + \frac{49}{4 \pi^2}
]
Выразим ( h^2 ):
[
h^2 = 4 - \frac{49}{4 \pi^2}
]
Шаг 3: Найти площадь боковой поверхности
Формула площади боковой поверхности конуса:
[
S_b = \pi r l
]
Уже известно:
[
r = \frac{7}{2 \pi}
]
[
l = 2
]
Подставляем:
[
S_b = \pi \times \frac{7}{2 \pi} \times 2
]
Упростим:
[
S_b = \pi \times \frac{7}{2 \pi} \times 2 = \frac{7}{2} \times 2 = 7
]
Ответ:
[
\boxed{
\text{Площадь боковой поверхности} , S_b = 7
}
]
Итак, площадь боковой поверхности конуса равна 7 единицам квадрата.
