вычислите площадь фигуры заштрихованной на рисунке y=-x2+4x

Для решения задачи необходимо вычислить площадь заштрихованной фигуры, ограниченной графиком функции \( y = -x^2 + 4x \).

Пошаговое решение:

Шаг 1: Понять задачу

Функция \( y = -x^2 + 4x \) — это парабола, открытая вниз, с вершиной и пересечениями с осью Ox. Чтобы найти площадь фигуры, нужно определить ограничивающие её пределы по x и проинтегрировать функцию между этими точками.

Шаг 2: Найти точки пересечения с осью Ox

Пересечения происходят, когда \( y = 0 \): \[ -x^2 + 4x = 0 \] Выносим x за скобку: \[ x(-x + 4) = 0 \] Значит: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \] Это — границы области по x.

Шаг 3: Записать выражение для площади

Площадь заштрихованной области — это площадь под графиком функции между точками пересечения с осью Ox, то есть от \( x = 0 \) до \( x = 4 \).

Площадь: \[ S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \, dx \]

Шаг 4: Вычислить интеграл

Рассчитаем интеграл по частям: \[ S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \, dx \]

Разделим на два интеграла: \[ S = \int_{0}^{4} -x^2 \, dx + \int_{0}^{4} 4x \, dx \]

Вычислим по отдельности:

• \(\int -x^2 dx = - \frac{x^3}{3}\)
• \(\int 4x dx = 2x^2\)

Подставим пределы:

1. \(\int_{0}^{4} -x^2 dx = \left[- \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = - \frac{4^3}{3} + 0 = - \frac{64}{3}\)

2. \(\int_{0}^{4} 4x dx = \left[ 2x^2 \right]_0^4 = 2 \times 16 = 32\)

Шаг 5: Найти сумму результатов и получить площадь

\[ S = - \frac{64}{3} + 32 \] Переведём 32 в дробь с знаменателем 3: \[ 32 = \frac{96}{3} \]

Тогда: \[ S = - \frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3} \]

Итог:

Площадь заштрихованной фигуры равна \(\boxed{\frac{32}{3}}\) квадратных единиц.

Если есть изображение или дополнительные условия, уточните, и я помогу более подробно!