Вычислите площадь фигуры заштрихованной на рисунке y=-x2+4x

Для решения задачи необходимо вычислить площадь заштрихованной фигуры, ограниченной графиком функции \( y = -x^2 + 4x \). Пошаговое решение: ### Шаг 1: Понять задачу Функция \( y = -x^2 + 4x \) — это парабола, открытая вниз, с вершиной и пересечениями с осью Ox. Чтобы найти площадь фигуры, нужно определить ограничивающие её пределы по x и проинтегрировать функцию между этими точками. ### Шаг 2: Найти точки пересечения с осью Ox Пересечения происходят, когда \( y = 0 \): \[ -x^2 + 4x = 0 \] Выносим x за скобку: \[ x(-x + 4) = 0 \] Значит: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \] Это — границы области по x. ### Шаг 3: Записать выражение для площади Площадь заштрихованной области — это площадь под графиком функции между точками пересечения с осью Ox, то есть от \( x = 0 \) до \( x = 4 \). Площадь: \[ S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \, dx \] ### Шаг 4: Вычислить интеграл Рассчитаем интеграл по частям: \[ S = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) \, dx \] Разделим на два интеграла: \[ S = \int_{0}^{4} -x^2 \, dx + \int_{0}^{4} 4x \, dx \] Вычислим по отдельности: - \(\int -x^2 dx = - \frac{x^3}{3}\) - \(\int 4x dx = 2x^2\) Подставим пределы: 1. \(\int_{0}^{4} -x^2 dx = \left[- \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = - \frac{4^3}{3} + 0 = - \frac{64}{3}\) 2. \(\int_{0}^{4} 4x dx = \left[ 2x^2 \right]_0^4 = 2 \times 16 = 32\) ### Шаг 5: Найти сумму результатов и получить площадь \[ S = - \frac{64}{3} + 32 \] Переведём 32 в дробь с знаменателем 3: \[ 32 = \frac{96}{3} \] Тогда: \[ S = - \frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3} \] ### Итог: **Площадь заштрихованной фигуры равна \(\boxed{\frac{32}{3}}\) квадратных единиц.** Если есть изображение или дополнительные условия, уточните, и я помогу более подробно!