Разложите на множители: а) 2а4b3 – 2а3b4 + 6a2b2; б) x2 – 3х – 3у – y2.
Давайте подробно разберем каждое задание, чтобы понять, как разложить данные выражения на множители.
Задача (а): 2а⁴b³ – 2а³b⁴ + 6а²b²
Шаг 1. Вынесем общий множитель.
Общий множитель — это то, что есть во всех слагаемых.
Рассмотрим каждое слагаемое:
- 2а⁴b³
- 2а³b⁴
- 6а²b²
Общий множитель:
- коэффициенты: 2 (есть во всех, кроме третьего, где — 6 — он делится на 2)
- а: минимальная степень — 2 (в третьем слагаемом)
- b: минимальная степень — 2 (в третьем слагаемом)
Поскольку 6 = 2 * 3, вынесем за скобки 2а²b²:
\[ 2a^2b^2 \times \left( \frac{a^2b^3}{a^2b^2} - \frac{a^3b^4}{a^2b^2} + \frac{3}{1} \right) \]
Посчитаем каждое выражение внутри скобок:
- \(\frac{a^2b^3}{a^2b^2} = b\)
- \(\frac{a^3b^4}{a^2b^2} = a \times b^2\)
- 3 — остается как есть.
Итак, исходное выражение преобразуется в:
\[ 2a^2b^2 (b - a b^2 + 3) \]
Шаг 2: Раскрой скобки внутри скобок:
Остается разложить выражение \(b - a b^2 + 3\).
Можно заметить, что это выражение — это многочлен по переменной \(b\):
\[ b - a b^2 + 3 \]
Перепишем в порядке убывания степени \(b\):
\[ - a b^2 + b + 3 \]
Для разложения попробуем по формуле разности квадратов или группировку, однако здесь, скорее всего, проще — искать разложение квадратичного выражения:
\[ - a b^2 + b + 3 \]
или сделаем замену: \(x = b\):
\[ - a x^2 + x + 3 \]
или перенесем знак:
\[ a x^2 - x - 3 \]
Обратим внимание, что есть три слагаемых: \(a x^2\), \(-x\), \(-3\). Попробуем разложить это квадратичное выражение по формулам разложения.
Шаг 3: Разложение квадратичного выражения \(\boldsymbol{a x^2 - x - 3}\)
Найдем его дискриминант:
\[ D = (-1)^2 - 4 \times a \times (-3) = 1 + 12a \]
Рассмотрим разложение — оно возможно, если дискриминант квадратичное выражение разложим на корни:
\[ x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12a}}{2a} \]
Тогда разложение будет:
\[ a x^2 - x - 3 = a (x - x_1)(x - x_2) \]
Обратно подставим \(b\):
\[ - a b^2 + b + 3 = - (a b^2 - b - 3) \]
Итак, выражение внутри скобки — это квадратичное \(a b^2 - b - 3\).
Итог для части (а):
Общий разложение:
\[ 2 a^2 b^2 \times \left[ - (a b^2 - b - 3) \right] = - 2 a^2 b^2 (a b^2 - b - 3) \]
Ответ (а):
\[ \boxed{ - 2 a^2 b^2 (a b^2 - b - 3) } \]
Задача (б): \(x^2 - 3x - 3y - y^2\)
Шаг 1. Группировка похожих слагаемых.
Перепишем:
\[ x^2 - 3x - y^2 - 3y \]
Можно объединить пары:
\[ (x^2 - 3x) - (y^2 + 3y) \]
Шаг 2. Разложим каждое квадратичное выражение по формуле полного квадрата.
Для \(x^2 - 3x\):
\[ x^2 - 3x = x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = (x - \tfrac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \]
Аналогично для \(y^2 + 3y\):
\[ y^2 + 3y = y^2 + 3y + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = (y + \tfrac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \]
Итак, исходное выражение преобразуется в:
\[ (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \left[(y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\right] \]
Это равно:
\[ (x - \frac{3}{2})^2 - (y + \frac{3}{2})^2 \]
Так как \(- \frac{9}{4}\) и \(- (- \frac{9}{4})\) сократились.
Шаг 3. Формула разности квадратов:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Применим ее:
\[ (x - \frac{3}{2} - (y + \frac{3}{2}))(x - \frac{3}{2} + y + \frac{3}{2}) \]
Посчитаем каждую скобку:
Первая:
\[ x - \frac{3}{2} - y - \frac{3}{2} = x - y - 3 \]
Вторая:
\[ x - \frac{3}{2} + y + \frac{3}{2} = x + y \]
Итог для (б):
\[ (x - y - 3)(x + y) \]
Общий ответ:
Задача (а): \[ \boxed{ - 2 a^2 b^2 (a b^2 - b - 3) } \]
Задача (б): \[ \boxed{ (x - y - 3)(x + y) } \]
Если есть вопросы или нужно более детальное объяснение — спрашивайте!
