Давайте решим задачу по пунктам.
Обозначим события:
- (A_1): батончики закончатся в первом автомате.
- (A_2): батончики закончатся во втором автомате.
И даны вероятности:
- (P(A_1) = 0,2)
- (P(A_2) = 0,2)
- (P(A_1 \cap A_2) = 0,07)
Нам нужно найти:
а) вероятность того, что батончики закончатся только в первом автомате:
Это событие (A_1), но (;A_2) — нет.
То есть, это событие (A_1 \setminus A_2).
Вероятность этого:
[ P(A_1 \setminus A_2) = P(A_1) - P(A_1 \cap A_2) ]
Подставляем значения:
[ P(только (A_1)) = 0,2 - 0,07 = 0,13 ]
б) вероятность того, что батончики закончатся только в одном автомате (в первом или во втором), но не в обоих:
Это сумма вероятностей двух событий:
- только в первом: (A_1 \setminus A_2)
- только во втором: (A_2 \setminus A_1)
Общий искомый случай:
[ P(\text{только в одном}) = P(A_1 \setminus A_2) + P(A_2 \setminus A_1) ]
Так как события взаимоисключающие, то:
[ P(A_2 \setminus A_1) = P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) = 0,2 - 0,07 = 0,13 ]
Итак,
[ P(\text{только в одном}) = 0,13 + 0,13 = 0,26 ]
в) вероятность, что батончики останутся в обоих автоматах:
Это событие — противоположность тому, что хотя бы один автомат закончится.
Обозначим событие, что батончики закончатся хотя бы в одном: (A_1 \cup A_2).
Тогда вероятность остающихся:
[ P(\text{остаются в обоих}) = 1 - P(A_1 \cup A_2) ]
Найдем (P(A_1 \cup A_2)) по формуле:
[ P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) ]
Подставляем:
[ P(A_1 \cup A_2) = 0,2 + 0,2 - 0,07 = 0,33 ]
Тогда:
[ P(\text{остаются в обоих}) = 1 - 0,33 = 0,67 ]
ИТОГ:
а) Вероятность, что батончики закончатся только в первом автомате — 0,13
б) Вероятность, что батончики закончатся только в одном автомате — 0,26
в) Вероятность, что батончики останутся в обоих — 0,67
