Давайте решим каждую задачу по порядку, подробно объясняя каждый шаг.
Задача 4.1
В коробке 100 болтов, из них 2 с сорванной резьбой. Сергей Петрович берёт 2 болта. Найти вероятность:
а) оба плохих болта достанутся Сергею Петровичу
Шаг 1: Определим общее количество способов выбрать 2 болта из 100:
[
\text{Общее число вариантов} = \binom{100}{2}
]
Шаг 2: Количество способов выбрать 2 болта, оба из которых плохие (с сорванной резьбой). Так как плохих болтов всего 2, то возможно только одно сочетание:
[
\binom{2}{2} = 1
]
Шаг 3: Значит, вероятность равна отношению числа благоприятных вариантов к общему числу вариантов:
[
P = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{100}{2}} = \frac{1}{\frac{100 \times 99}{2}} = \frac{1}{4950}
]
Ответ: (\boxed{\frac{1}{4950}})
4.2
Оба плохих болта останутся лежать в коробке — то есть, Сергей выбирает 2 хорошие болта.
Шаг 1: Всего болтов: 100. Хороших: 98, плохих: 2.
Шаг 2: Число способов выбрать 2 хорошие болта:
[
\binom{98}{2}
]
Шаг 3: общее число способов выбрать любые 2 болта:
[
\binom{100}{2}
]
Шаг 4: Вероятность равна:
[
P = \frac{\binom{98}{2}}{\binom{100}{2}} = \frac{\frac{98 \times 97}{2}}{\frac{100 \times 99}{2}} = \frac{98 \times 97}{100 \times 99}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{98 \times 97}{100 \times 99}}
]
4.3
Найти вероятность, что среди выбранных 2 болтов ровно один с сорванной резьбой.
Шаг 1: Выбираем 1 плохой болт из 2:
[
\binom{2}{1} = 2
]
Шаг 2: Выбираем 1 хороший болт из 98:
[
\binom{98}{1} = 98
]
Шаг 3: Общее число способов выбрать 2 болта:
[
\binom{100}{2}
]
Шаг 4: Вероятность:
[
P = \frac{\binom{2}{1} \times \binom{98}{1}}{\binom{100}{2}} = \frac{2 \times 98}{\frac{100 \times 99}{2}} = \frac{196}{4950}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{196}{4950}}
]
Задача 5.1
В классе 30 человек, случайное разделение на 3 группы по 10 человек. Найти вероятность, что из трех друзей (Сергея, Бориса и Ильи):
а) никакие двое из троих не окажутся в одной группе
Шаг 1: Общее число способов разделить 30 человек на 3 группы по 10:
[
\frac{\binom{30}{10} \times \binom{20}{10}}{3!}
]
(учитываем, что группы не различимы).
Шаг 2: Для нашей задачи нужно, чтобы 3 друга оказались в разных группах.
Шаг 3: Распределяем троих друзей так, чтобы каждый был в отдельной группе:
- Выбираем для Сергея любую группу (3 варианта).
- Бориса — любую из оставшихся двух групп (2 варианта).
- Илья — оставшуюся одну группу (1 вариант).
Общее число способов разместить 3 друзей в разные группы:
[
3! = 6
]
Шаг 4: Остальные 27 человек распределены по оставшимся 27 местам:
- После выбора групп для друзей остается выбрать по 9 человек в каждую из групп (без учета друзей, уже размещенных отдельно). Распределение остальных не влияет на их положение, потому что мы считаем, что все равно это распределение.
Общий подход: Чтобы найти вероятность, нужно разделить количество благоприятных вариантов (3 друга в разных группах) на общее число способов разделения.
Поскольку расчет количества способов разделения 30 человек, разбитых на 3 равные группы, — сложная задача, зачастую используют приближения или симметрии.
В качестве упрощения:
Вероятность, что каждый из трех друзей попадает в разную группу, равна:
[
P = \frac{\text{число способов разместить друзей по разным группам}}{\text{общее число способов разделения на группы}}
]
Это более сложная задача, которая выходит за рамки короткого ответа. В случае учебной задачи можно считать, что вероятность равна:
[
P = \frac{3! \times \binom{27}{9} \times \binom{18}{9} \times \binom{9}{9}}{\binom{30}{10} \times \binom{20}{10}}
]
— что говорит о вероятности размещения троих в разных группах.
5.2
Ровно двое из них окажутся в одной группе.
Шаг 1: Выбираем 2 друзей, которые окажутся в одной группе:
[
\binom{3}{2} = 3
]
Шаг 2: Для выбранной пары, выбираем группу, в которой они будут:
[
3 \text{ варианта}
]
Шаг 3: Выбираем 8 человек из остальных 28, чтобы завершить заполнение группы:
[
\binom{28}{8}
]
Шаг 4: Остальные 20 человек по оставшимся двум группам по 10.
Общее число вариантов разделения — такое же, как в предыдущем случае:
[
\frac{\binom{30}{10} \times \binom{20}{10}}{3!}
]
Итоговая вероятность:
[
P = \frac{\binom{3}{2} \times 3 \times \binom{28}{8}}{\frac{\binom{30}{10} \times \binom{20}{10}}{3!}}
]
Если нужны более точные формулы или числовые значения — сообщите.
Я подготовлю более точное решение или конкретные числовые расчеты!
Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — обращайтесь!
