Задумали трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 15. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число…

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Построим исходное число

Пусть задуманное число — это число из трёх цифр: \[ \text{ABC} \] где:

• \(A\) — цифра сотен,
• \(B\) — цифра десятков,
• \(C\) — цифра единиц.

Тогда число можно записать как: \[ 100A + 10B + C \]

Дано: число меньше 500, значит \(A < 5\).
Также число делится на 15, значит оно делится и на 3, и на 5.

Шаг 2: Условия делимости

Чтобы число делилось на 5, последняя цифра \(C\) должна быть 0 или 5.

Также, число делится на 3, если сумма цифр делится на 3: \[ A + B + C \equiv 0 \pmod{3} \]

Итак, \(C \in \{0, 5\}\).

Шаг 3: Перестановка цифр

Переставляем местами цифры десятков и единиц, то есть меняем \(B\) и \(C\).
Тогда полученное число: \[ 100A + 10C + B \]

Затем исходное число минус полученное равно 63: \[ (100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = 63 \]

Шаг 4: Упростим разность

Посчитаем разность: \[ (100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = 10B + C - 10C - B = 9B - 9C = 9(B - C) \]

Значит: \[ 9(B - C) = 63 \implies B - C = 7 \]

Шаг 5: Рассмотрим возможные значения \(C\)

• Если \(C=0\), то: \[ B - 0 = 7 \implies B=7 \]
• Если \(C=5\): \[ B - 5 = 7 \implies B=12 \] Но цифра \(B\) — это цифра разряда десятков, она должна быть от 0 до 9, так что \(B=12\ — невозможно\).

Следовательно, \(C=0\) и \(B=7\).

Шаг 6: Подставим и проверим число

Теперь у нас: \[ A \in \{1, 2, 3, 4\}\quad (\text{так как число меньше 500, а }A\geq 1) \] (так как число трехзначное, сотни не равны 0).

и \(C=0\), \(B=7\).

Из условий делимости на 3:

\[ A + B + C = A + 7 + 0 = A + 7 \]

Должно делиться на 3:

\[ A + 7 \equiv 0 \pmod{3} \]

Проверим \(A=1,2,3,4\):

• \(A=1\) -> \(1+7=8\) — не делится на 3.
• \(A=2\) -> \(2+7=9\) — делится на 3.
• \(A=3\) -> \(3+7=10\) — не делится на 3.
• \(A=4\) -> \(4+7=11\) — не делится на 3.

Только для \(A=2\) условие выполнено.

Шаг 7: Получаем исходное число

\[ A=2, \quad B=7, \quad C=0 \] Исходное число: \[ 200 + 70 + 0 = 270 \]

Проверка делимости на 15:

• делится на 5 (последняя цифра 0) — да
• сумма цифр: \(2+7+0=9\), делится на 3 — да

Значит, число 270 делится на 15.

Шаг 8: Проверка условия

Перестановка цифр: меняем местами \(B\) и \(C\):

\[ A=2, \quad C=0, \quad B=7 \] Полученное число: \[ 200 + 10 \times 0 + 7 = 207 \]

Теперь вычислим разность:

\[ 270 - 207 = 63 \]

Это условие выполнено.

---

Ответ:

Задуманное число — 270.