Давайте решим эту задачу пошагово.
Шаг 1: Построим исходное число
Пусть задуманное число — это число из трёх цифр:
[ \text{ABC} ]
где:
- (A) — цифра сотен,
- (B) — цифра десятков,
- (C) — цифра единиц.
Тогда число можно записать как:
[ 100A + 10B + C ]
Дано: число меньше 500, значит (A < 5).
Также число делится на 15, значит оно делится и на 3, и на 5.
Шаг 2: Условия делимости
Чтобы число делилось на 5, последняя цифра (C) должна быть 0 или 5.
Также, число делится на 3, если сумма цифр делится на 3:
[ A + B + C \equiv 0 \pmod{3} ]
Итак, (C \in {0, 5}).
Шаг 3: Перестановка цифр
Переставляем местами цифры десятков и единиц, то есть меняем (B) и (C).
Тогда полученное число:
[ 100A + 10C + B ]
Затем исходное число минус полученное равно 63:
[
(100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = 63
]
Шаг 4: Упростим разность
Посчитаем разность:
[
(100A + 10B + C) - (100A + 10C + B) = 10B + C - 10C - B = 9B - 9C = 9(B - C)
]
Значит:
[
9(B - C) = 63 \implies B - C = 7
]
Шаг 5: Рассмотрим возможные значения (C)
- Если (C=0), то:
[
B - 0 = 7 \implies B=7
]
- Если (C=5):
[
B - 5 = 7 \implies B=12
]
Но цифра (B) — это цифра разряда десятков, она должна быть от 0 до 9, так что (B=12\ — невозможно).
Следовательно, (C=0) и (B=7).
Шаг 6: Подставим и проверим число
Теперь у нас:
[
A \in {1, 2, 3, 4}\quad (\text{так как число меньше 500, а }A\geq 1)
]
(так как число трехзначное, сотни не равны 0).
и (C=0), (B=7).
Из условий делимости на 3:
[
A + B + C = A + 7 + 0 = A + 7
]
Должно делиться на 3:
[
A + 7 \equiv 0 \pmod{3}
]
Проверим (A=1,2,3,4):
- (A=1) -> (1+7=8) — не делится на 3.
- (A=2) -> (2+7=9) — делится на 3.
- (A=3) -> (3+7=10) — не делится на 3.
- (A=4) -> (4+7=11) — не делится на 3.
Только для (A=2) условие выполнено.
Шаг 7: Получаем исходное число
[
A=2, \quad B=7, \quad C=0
]
Исходное число:
[
200 + 70 + 0 = 270
]
Проверка делимости на 15:
- делится на 5 (последняя цифра 0) — да
- сумма цифр: (2+7+0=9), делится на 3 — да
Значит, число 270 делится на 15.
Шаг 8: Проверка условия
Перестановка цифр: меняем местами (B) и (C):
[
A=2, \quad C=0, \quad B=7
]
Полученное число:
[
200 + 10 \times 0 + 7 = 207
]
Теперь вычислим разность:
[
270 - 207 = 63
]
Это условие выполнено.
Ответ:
Задуманное число — 270.
