Давайте решим задачу поэтапно, чтобы найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины (X), исходя из заданных вероятностей.
Шаг 1: Записать данные
Таблица распределения:
| Значение (X) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| Вероятность (P(X)) |
0,18 |
0,32 |
0,04 |
0,08 |
0,31 |
0,07 |
Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1:
[
0,18 + 0,32 + 0,04 + 0,08 + 0,31 + 0,07 = 1.00
]
Верно.
Шаг 2: Математическое ожидание (E[X])
Математическое ожидание — это сумма произведений значений (X) на их вероятности:
[
E[X] = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)
]
Подставим данные:
[
E[X] = 1 \times 0,18 + 2 \times 0,32 + 3 \times 0,04 + 4 \times 0,08 + 5 \times 0,31 + 6 \times 0,07
]
Вычислим:
[
E[X] = 0,18 + 0,64 + 0,12 + 0,32 + 1,55 + 0,42
]
Сложим:
[
0,18 + 0,64 = 0,82
]
[
0,82 + 0,12 = 0,94
]
[
0,94 + 0,32 = 1,26
]
[
1,26 + 1,55 = 2,81
]
[
2,81 + 0,42 = \boxed{3,23}
]
Ответ на шаг 2:
[
\boxed{E[X] = 3,23}
]
Шаг 3: Математическое ожидание квадрата (E[X^2])
Для вычисления дисперсии нам понадобится (E[X^2]):
[
E[X^2] = \sum_{i} x_i^2 \cdot P(X = x_i)
]
Посчитаем каждое значение:
[
1^2 \times 0,18 = 1 \times 0,18 = 0,18
]
[
2^2 \times 0,32 = 4 \times 0,32 = 1,28
]
[
3^2 \times 0,04 = 9 \times 0,04 = 0,36
]
[
4^2 \times 0,08 = 16 \times 0,08 = 1,28
]
[
5^2 \times 0,31 = 25 \times 0,31 = 7,75
]
[
6^2 \times 0,07 = 36 \times 0,07 = 2,52
]
Теперь сложим:
[
0,18 + 1,28 + 0,36 + 1,28 + 7,75 + 2,52 =
]
Суммируем поэлементно:
[
0,18 + 1,28 = 1,46
]
[
1,46 + 0,36 = 1,82
]
[
1,82 + 1,28 = 3,10
]
[
3,10 + 7,75 = 10,85
]
[
10,85 + 2,52 = \boxed{13,37}
]
Ответ:
[
E[X^2] = 13,37
]
Шаг 4: Дисперсия (D[X])
Формула для дисперсии:
[
D[X] = E[X^2] - (E[X])^2
]
Подставим найденные значения:
[
D[X] = 13,37 - (3,23)^2
]
Вычислим квадрат (E[X]):
[
(3,23)^2 = 10,43 \text{ (приблизительно)}
]
Теперь найдем дисперсию:
[
D[X] = 13,37 - 10,43 = \boxed{2,94}
]
Итог
Математическое ожидание:
[
\boxed{E[X] \approx 3,23}
]
Дисперсия:
[
\boxed{D[X] \approx 2,94}
]
Если есть что-то, что нужно уточнить или подробнее разобрать — скажите!
