В таблице дано распределение случайной величины Х. Найдите математическое ожидание и дисперсию величины Х. Значение 1 2 3 4 5 6 вероятность 0,18 0,32 0,04 0,08 0,31 0,07
Давайте решим задачу поэтапно, чтобы найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины \(X\), исходя из заданных вероятностей.
Шаг 1: Записать данные
Таблица распределения:
| Значение \(X\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Вероятность \(P(X)\) | 0,18 | 0,32 | 0,04 | 0,08 | 0,31 | 0,07 |
Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1:
\[ 0,18 + 0,32 + 0,04 + 0,08 + 0,31 + 0,07 = 1.00 \]
Верно.
Шаг 2: Математическое ожидание \(E[X]\)
Математическое ожидание — это сумма произведений значений \(X\) на их вероятности:
\[ E[X] = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i) \]
Подставим данные:
\[ E[X] = 1 \times 0,18 + 2 \times 0,32 + 3 \times 0,04 + 4 \times 0,08 + 5 \times 0,31 + 6 \times 0,07 \]
Вычислим:
\[ E[X] = 0,18 + 0,64 + 0,12 + 0,32 + 1,55 + 0,42 \]
Сложим:
\[ 0,18 + 0,64 = 0,82 \] \[ 0,82 + 0,12 = 0,94 \] \[ 0,94 + 0,32 = 1,26 \] \[ 1,26 + 1,55 = 2,81 \] \[ 2,81 + 0,42 = \boxed{3,23} \]
Ответ на шаг 2:
\[ \boxed{E[X] = 3,23} \]
Шаг 3: Математическое ожидание квадрата \(E[X^2]\)
Для вычисления дисперсии нам понадобится \(E[X^2]\):
\[ E[X^2] = \sum_{i} x_i^2 \cdot P(X = x_i) \]
Посчитаем каждое значение:
\[ 1^2 \times 0,18 = 1 \times 0,18 = 0,18 \] \[ 2^2 \times 0,32 = 4 \times 0,32 = 1,28 \] \[ 3^2 \times 0,04 = 9 \times 0,04 = 0,36 \] \[ 4^2 \times 0,08 = 16 \times 0,08 = 1,28 \] \[ 5^2 \times 0,31 = 25 \times 0,31 = 7,75 \] \[ 6^2 \times 0,07 = 36 \times 0,07 = 2,52 \]
Теперь сложим:
\[ 0,18 + 1,28 + 0,36 + 1,28 + 7,75 + 2,52 = \]
Суммируем поэлементно:
\[ 0,18 + 1,28 = 1,46 \] \[ 1,46 + 0,36 = 1,82 \] \[ 1,82 + 1,28 = 3,10 \] \[ 3,10 + 7,75 = 10,85 \] \[ 10,85 + 2,52 = \boxed{13,37} \]
Ответ:
\[ E[X^2] = 13,37 \]
Шаг 4: Дисперсия \(D[X]\)
Формула для дисперсии:
\[ D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \]
Подставим найденные значения:
\[ D[X] = 13,37 - (3,23)^2 \]
Вычислим квадрат \(E[X]\):
\[ (3,23)^2 = 10,43 \text{ (приблизительно)} \]
Теперь найдем дисперсию:
\[ D[X] = 13,37 - 10,43 = \boxed{2,94} \]
Итог
Математическое ожидание:
\[ \boxed{E[X] \approx 3,23} \]
Дисперсия:
\[ \boxed{D[X] \approx 2,94} \]
Если есть что-то, что нужно уточнить или подробнее разобрать — скажите!
