В кармане у Андрея было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он, не глядя, переложил 3 монеты в другой карман. Найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей лежат в одном кармане

Рассмотрим задачу поэтапно. Дано: - В кармане у Андрея было 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей, всего 6 монет. - Он переложил в другой карман 3 монеты, не глядя. - Требуется найти вероятность того, что обе монеты по 5 рублей оказались в одном кармане (при условии, что он положил в другой карман 3 монеты). --- ### Шаг 1. Общее число способов выбрать 3 монеты для другого кармана Всего у нас 6 монет. Нужно выбрать 3 из них, чтобы положить их в другой карман. Общее число способов: \[ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20 \] --- ### Шаг 2. Определение событий - **A:** обе монеты по 5 рублей оказались в одном кармане - При этом ровно 3 монеты были переложены. Для вычисления вероятности \( P(A) \), стоит рассмотреть все возможные варианты, как могут оказаться монеты с 5 рублями в выбранных трех. --- ### Шаг 3. Анализ ситуации Поскольку мы не знаем, какие монеты были выбраны, а выбор делается случайно, рассмотрим все возможные случаи, при которых обе монеты по 5 рублей попадают в один карман. **Ключевые моменты:** - В кармане было 2 монеты по 5 рублей. - В кармане или обе или ни одной (или только одна — что исключено событием, так как нужно чтобы обе оказались в одном кармане). Но нам нужен случай, когда обе 5-рублёвые монеты попадают в один карман, тогда в другом остаётся одна 5-рублёвая монета и все 4 монеты по 2 рубля. --- ### Шаг 4. Варианты размещения монет **Вариант 1:** обе 5-рублёвые в избранных 3 монетах (в другой — 0), остальные 4 — тоже не попали. Всего возможных способов выбрать 3 монеты, где обе 5 рублей, и при этом в кармане оказались обе 5-рублёвые — мы считаем: - Выбираем обе 5-рублёвые монеты (есть только один способ: \(C_2^2 = 1\)) - В оставшиеся 1 место вставляем 1 из 4 монет по 2 рубля. Количество способов: \(C_4^1 = 4\). Итак, число способов, при которых обе 5-рублёвые попадают в выбранные монеты: \[ 1 \times 4 = 4 \] --- **Вариант 2:** обе 5-рублёвые в одной из 3 выбранных монет, а одна — в другой части (что невозможно — так как они остаются вместе или разными). Но по условию — чтобы обе 5 рублей оказались в одном кармане, эта ситуация подходит. --- ### Шаг 5. Высчитываем вероятность Общее число вариантов (все возможные способы выбрать 3 монеты): 20. Число благоприятных случаев (выбрали обе 5 рублей + одна 2-рублевая): 4. ### Итоговая вероятность: \[ P(\text{обе 5-рублёвые в одном кармане}) = \frac{\text{число благоприятных случаев}}{\text{общее число случаев}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0.2 \] --- ### **Ответ:** **Вероятность того, что обе монеты по 5 рублей окажутся в одном кармане, равна \(\boxed{\frac{1}{5}}\) или 20%.**