4. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 11дм, 9 дм и 8 дм, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.
Давайте разберём задачу поэтапно и подробно.
Задача:
В прямой треугольной призме стороны основания равны 11 дм, 9 дм и 8 дм, а боковое ребро равно большей высоте основания. Нужно найти объем призмы.
Шаг 1: Понять задачу и данные условия
- Основание — треугольник со сторонами 11 дм, 9 дм и 8 дм.
- Призма — прямой, значит боковые ребра перпендикулярны основанию.
- Боковое ребро равно большей высоте основания. То есть боковое ребро равно высоте треугольника-основания, которое является наибольшей из высот треугольника.
Поскольку в условии говорится о "большей высоте", нужно найти все высоты треугольника и определить, какая из них самая большая.
Шаг 2: Найти высоты треугольника с сторонами 11, 9 и 8 дм
Для этого необходимо сначала найти площадь треугольника. Используем формулу Герона:
\[ s = \frac{a + b + c}{2} \]
где \(a=11\), \(b=9\), \(c=8\).
Расчет полупериметра:
\[ s = \frac{11 + 9 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14 \]
Площадь треугольника по формуле Герона:
\[ S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{14(14 - 11)(14 - 9)(14 - 8)} \]
Подставим значения:
\[ S = \sqrt{14 \times 3 \times 5 \times 6} \]
Рассчитаем внутри корня:
\[ 14 \times 3 = 42 \] \[ 42 \times 5 = 210 \] \[ 210 \times 6 = 1260 \]
Итак,
\[ S = \sqrt{1260} \]
Чтобы упростить, разложим 1260 на простые множители:
\[ 1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \]
Следовательно,
\[ \sqrt{1260} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7} = 2 \times 3 \times \sqrt{5 \times 7} = 6 \sqrt{35} \]
Шаг 3: Вычислить высоты треугольника, зная площадь и стороны
Высота, опущенная на сторону \(a\), вычисляется по формуле:
\[ h_a = \frac{2S}{a} \]
Аналогично для других сторон.
- Высота, опущенная на сторону 11 дм:
\[ h_{11} = \frac{2 \times 6 \sqrt{35}}{11} = \frac{12 \sqrt{35}}{11} \]
- Высота, опущенная на сторону 9 дм:
\[ h_{9} = \frac{2 \times 6 \sqrt{35}}{9} = \frac{12 \sqrt{35}}{9} = \frac{4 \sqrt{35}}{3} \]
- Высота, опущенная на сторону 8 дм:
\[ h_{8} = \frac{2 \times 6 \sqrt{35}}{8} = \frac{12 \sqrt{35}}{8} = \frac{3 \sqrt{35}}{2} \]
Теперь определим, какая из этих высот больше.
Шаг 4: Определить максимальную высоту
Проще сравнить числители, так как знаменатели разные:
- \(h_{11} = \frac{12 \sqrt{35}}{11}\)
- \(h_{9} = \frac{4 \sqrt{35}}{3}\)
- \(h_{8} = \frac{3 \sqrt{35}}{2}\)
Переведем все в одинаковый вид или сравним через отношения.
Легче сравнить их через отношение числителя/знаменателя:
- \(h_{11} \approx \frac{12 \times 5.916}{11} \approx \frac{70.992}{11} \approx 6.45\)
- \(h_{9} \approx \frac{4 \times 5.916}{3} \approx \frac{23.664}{3} \approx 7.89\)
- \(h_{8} \approx \frac{3 \times 5.916}{2} \approx \frac{17.748}{2} \approx 8.87\)
Максимальная — наиболее высокая высота — это \(h_{8} \approx 8.87\) дм.
Итог:
- Большая высота основания — это \(h_{8} = \frac{3 \sqrt{35}}{2}\).
- Боковое ребро равно этой высоте, то есть \(H = h_{8}\).
Шаг 5: Найти объем призмы
Объем прямой призмы:
\[ V = \text{Площадь основания} \times высота призмы \]
Где высота — боковое ребро, равное \(h_{8}\).
Площадь основания — это уже найдено:
\[ S = 6 \sqrt{35} \]
Высота призмы:
\[ H = \frac{3 \sqrt{35}}{2} \]
Тогда объем:
\[ V = S \times H = 6 \sqrt{35} \times \frac{3 \sqrt{35}}{2} \]
Перемножим:
\[ V = \frac{6 \times 3 \times \sqrt{35} \times \sqrt{35}}{2} = \frac{18 \times 35}{2} \]
Потому что \(\sqrt{35} \times \sqrt{35} = 35\).
Теперь упростим:
\[ V = \frac{18 \times 35}{2} = 9 \times 35 = 315 \]
Ответ:
\[ \boxed{315 \text{ дм}^3} \]
Объем призмы равен 315 кубических дециметров.
