4. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 11дм, 9 дм и 8 дм, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.

Давайте разберём задачу поэтапно и подробно. **Задача:** В прямой треугольной призме стороны основания равны 11 дм, 9 дм и 8 дм, а боковое ребро равно большей высоте основания. Нужно найти объем призмы. --- ### Шаг 1: Понять задачу и данные условия - Основание — треугольник со сторонами 11 дм, 9 дм и 8 дм. - Призма — прямой, значит боковые ребра перпендикулярны основанию. - Боковое ребро равно большей высоте основания. То есть боковое ребро равно высоте треугольника-основания, которое является наибольшей из высот треугольника. Поскольку в условии говорится о "большей высоте", нужно найти все высоты треугольника и определить, какая из них самая большая. --- ### Шаг 2: Найти высоты треугольника с сторонами 11, 9 и 8 дм Для этого необходимо сначала найти площадь треугольника. Используем формулу Герона: \[ s = \frac{a + b + c}{2} \] где \(a=11\), \(b=9\), \(c=8\). **Расчет полупериметра:** \[ s = \frac{11 + 9 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14 \] **Площадь треугольника по формуле Герона:** \[ S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} = \sqrt{14(14 - 11)(14 - 9)(14 - 8)} \] Подставим значения: \[ S = \sqrt{14 \times 3 \times 5 \times 6} \] Рассчитаем внутри корня: \[ 14 \times 3 = 42 \] \[ 42 \times 5 = 210 \] \[ 210 \times 6 = 1260 \] Итак, \[ S = \sqrt{1260} \] Чтобы упростить, разложим 1260 на простые множители: \[ 1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7 \] Следовательно, \[ \sqrt{1260} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7} = 2 \times 3 \times \sqrt{5 \times 7} = 6 \sqrt{35} \] --- ### Шаг 3: Вычислить высоты треугольника, зная площадь и стороны Высота, опущенная на сторону \(a\), вычисляется по формуле: \[ h_a = \frac{2S}{a} \] Аналогично для других сторон. - Высота, опущенная на сторону 11 дм: \[ h_{11} = \frac{2 \times 6 \sqrt{35}}{11} = \frac{12 \sqrt{35}}{11} \] - Высота, опущенная на сторону 9 дм: \[ h_{9} = \frac{2 \times 6 \sqrt{35}}{9} = \frac{12 \sqrt{35}}{9} = \frac{4 \sqrt{35}}{3} \] - Высота, опущенная на сторону 8 дм: \[ h_{8} = \frac{2 \times 6 \sqrt{35}}{8} = \frac{12 \sqrt{35}}{8} = \frac{3 \sqrt{35}}{2} \] Теперь определим, какая из этих высот больше. --- ### Шаг 4: Определить максимальную высоту Проще сравнить числители, так как знаменатели разные: - \(h_{11} = \frac{12 \sqrt{35}}{11}\) - \(h_{9} = \frac{4 \sqrt{35}}{3}\) - \(h_{8} = \frac{3 \sqrt{35}}{2}\) Переведем все в одинаковый вид или сравним через отношения. Легче сравнить их через отношение числителя/знаменателя: - \(h_{11} \approx \frac{12 \times 5.916}{11} \approx \frac{70.992}{11} \approx 6.45\) - \(h_{9} \approx \frac{4 \times 5.916}{3} \approx \frac{23.664}{3} \approx 7.89\) - \(h_{8} \approx \frac{3 \times 5.916}{2} \approx \frac{17.748}{2} \approx 8.87\) Максимальная — **наиболее высокая высота — это \(h_{8} \approx 8.87\) дм.** ### Итог: - **Большая высота основания** — это \(h_{8} = \frac{3 \sqrt{35}}{2}\). - **Боковое ребро** равно **этой высоте**, то есть \(H = h_{8}\). --- ### Шаг 5: Найти объем призмы Объем прямой призмы: \[ V = \text{Площадь основания} \times высота призмы \] Где высота — боковое ребро, равное \(h_{8}\). Площадь основания — это уже найдено: \[ S = 6 \sqrt{35} \] Высота призмы: \[ H = \frac{3 \sqrt{35}}{2} \] Тогда объем: \[ V = S \times H = 6 \sqrt{35} \times \frac{3 \sqrt{35}}{2} \] Перемножим: \[ V = \frac{6 \times 3 \times \sqrt{35} \times \sqrt{35}}{2} = \frac{18 \times 35}{2} \] Потому что \(\sqrt{35} \times \sqrt{35} = 35\). Теперь упростим: \[ V = \frac{18 \times 35}{2} = 9 \times 35 = 315 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{315 \text{ дм}^3} \] Объем призмы равен **315 кубических дециметров**.