Рассмотрим каждую задачу по порядку и подробно объясним решение.
Задача 1
Вариант А:
Окружность с радиусом 12 см, расстояние от центра окружности до прямой 8 см.
Нам нужно понять взаимное расположение.
Объяснение:
- Радиус окружности R = 12 см.
- Расстояние от центра окружности до прямой d = 8 см.
Поскольку расстояние d < радиуса R, то прямая пересекает окружность (она проходит через ее внутреннюю часть), иначе окружность была бы снаружи или касалась бы прямой.
Итог:
Прямая пересекает окружность, потому что d < R.
Задача 2
Вариант Б:
Две окружности с радиусами 5 см и 7 см, расстояние между центрами 10 см.
Объяснение:
- Радиусы r₁ = 5 см, r₂ = 7 см.
- Расстояние между центрами d = 10 см.
Для определения взаимного расположения окружностей сравним d с суммой радиусов R₁ + R₂ = 5 + 7 = 12 см, и с разностью радиусов |R₂ - R₁| = 2 см.
- Если d > R₁ + R₂ (10 > 12)? Нет, 10 < 12, значит окружности не пересекаются во внешней области, поскольку расстояние меньше суммы радиусов, они могут либо касаться, либо пересекаться.
- Также, d > |R₂ - R₁| (10 > 2), значит внутренние касания или пересечение возможны.
Итог:
Окружности пересекаются или касаются внутри, так как d меньше суммы радиусов, но больше разности.
Задача 3 – углы между касающимися прямыми
Дано:
- Две касательные, касающиеся окружности в точках A и B.
- Прямые пересекаются в точке C.
- Угол между ними — ∠AОВ = 40°, где O — центр окружности.
Объяснение и решение:
- Точки касания A и B лежат на линии, которая касается окружности в соответствующих точках.
- Угол ∠AОB — это угол при центре O, образованный радиусами OA и OB.
Важно:
- Радиусы OA и OB — это радиусы окружности, проведенные к точкам касания.
- Точки A и B — касательные точки, и прямые, касающиеся окружности через точки A и B, образуют угол между собой.
Что нужно найти:
- Угол между двумя касательными, проведенными через точки A и B.
Определение:
Если касательные, проведенные из точки C, касаются окружности, то угол между ними равен углу между касательными точками, что равен половине угла при центре, то есть:
[
\angle \text{между касательными} = \frac{1}{2} \angle AOB
]
Но у нас задан ∠AOB = 40°, тогда угол между касательными:
[
\boxed{
\text{Угол между касательными} = \frac{1}{2} \times 40° = 20°
}
]
Итоговые ответы:
- Вариант А: Прямая пересекает окружность (так как d < R).
- Вариант Б: Окружности пересекаются или касаются внутри, так как d меньше суммы радиусов.
- Угол между касательными: 20°.
