Давайте подробно разберем задачу.
Дано:
- Функция 1: ( y = -x^2 + p )
- Функция 2: ( y = 2x + 2 )
Условие: графики этих функций имеют ровно одну общую точку.
Шаг 1. Запишем условие совпадения точек графиков
Общая точка — это решение уравнения, в котором значения функции равны:
[ -x^2 + p = 2x + 2 ]
Это уравнение определяет точку пересечения графиков.
Шаг 2. Построим уравнение для поиска точки пересечения
Рассмотрим уравнение:
[ -x^2 + p = 2x + 2 ]
Перенесем все в левую часть:
[ -x^2 - 2x + (p - 2) = 0 ]
Или:
[ x^2 + 2x - (p - 2) = 0 ]
Шаг 3. Условие, что графики имеют ровно одну общую точку
Для того, чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант должно быть равен нулю:
[ D = 0 ]
Где дискриминант:
[ D = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-(p - 2)) ]
Вычислим:
[ D = 4 - 4 \times (-(p - 2)) = 4 + 4(p - 2) ]
Раскроем скобки:
[ D = 4 + 4p - 8 = 4p - 4 ]
Значит, условие:
[ 4p - 4 = 0 ]
Отсюда получаем:
[ 4p = 4 ]
[ p = 1 ]
Шаг 4. Найдем точку пересечения
Теперь, когда мы выяснили, что ( p=1 ), подставим это в оба уравнения.
Вторая функция:
[ y = 2x + 2 ]
Первая функция с ( p=1 ):
[ y = -x^2 + 1 ]
Тогда уравнение:
[ -x^2 + 1 = 2x + 2 ]
Перенесем все в левую сторону:
[ -x^2 - 2x + (1 - 2) = 0 ]
или
[ -x^2 - 2x - 1 = 0 ]
Упростим, умножив на -1:
[ x^2 + 2x + 1 = 0 ]
Это — полный квадрат:
[ (x + 1)^2 = 0 ]
Следовательно,
[ x = -1 ]
Подставим в любую функцию, например, в ( y=2x+2 ):
[ y=2 \times (-1) + 2= -2 + 2= 0 ]
Итог:
Координаты точки пересечения:
[
\boxed{(-1, 0)}
]
Построение графиков:
- График ( y = -x^2 + 1 ): парабола с вершиной в точке ((0, 1)), открыта вниз.
- График ( y = 2x + 2 ): прямой, проходящий через точки ((-1, 0)) и, например, ((0, 2)).
Общая точка — ((-1,0)), где оба графика пересекаются ровно в одной точке.
Если нужно, я могу помочь вам нарисовать эти графики или ответить на любые дополнительные вопросы!
