Известно, что графики функций y=-x^2+p и y=2x+2 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.
Давайте подробно разберем задачу.
Дано:
- Функция 1: \( y = -x^2 + p \)
- Функция 2: \( y = 2x + 2 \)
Условие: графики этих функций имеют ровно одну общую точку.
Шаг 1. Запишем условие совпадения точек графиков
Общая точка — это решение уравнения, в котором значения функции равны:
\[ -x^2 + p = 2x + 2 \]
Это уравнение определяет точку пересечения графиков.
Шаг 2. Построим уравнение для поиска точки пересечения
Рассмотрим уравнение:
\[ -x^2 + p = 2x + 2 \]
Перенесем все в левую часть:
\[ -x^2 - 2x + (p - 2) = 0 \]
Или:
\[ x^2 + 2x - (p - 2) = 0 \]
Шаг 3. Условие, что графики имеют ровно одну общую точку
Для того, чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант должно быть равен нулю:
\[ D = 0 \]
Где дискриминант:
\[ D = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-(p - 2)) \]
Вычислим:
\[ D = 4 - 4 \times (-(p - 2)) = 4 + 4(p - 2) \]
Раскроем скобки:
\[ D = 4 + 4p - 8 = 4p - 4 \]
Значит, условие:
\[ 4p - 4 = 0 \]
Отсюда получаем:
\[ 4p = 4 \]
\[ p = 1 \]
Шаг 4. Найдем точку пересечения
Теперь, когда мы выяснили, что \( p=1 \), подставим это в оба уравнения.
Вторая функция:
\[ y = 2x + 2 \]
Первая функция с \( p=1 \):
\[ y = -x^2 + 1 \]
Тогда уравнение:
\[ -x^2 + 1 = 2x + 2 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ -x^2 - 2x + (1 - 2) = 0 \]
или
\[ -x^2 - 2x - 1 = 0 \]
Упростим, умножив на -1:
\[ x^2 + 2x + 1 = 0 \]
Это — полный квадрат:
\[ (x + 1)^2 = 0 \]
Следовательно,
\[ x = -1 \]
Подставим в любую функцию, например, в \( y=2x+2 \):
\[ y=2 \times (-1) + 2= -2 + 2= 0 \]
Итог:
Координаты точки пересечения:
\[ \boxed{(-1, 0)} \]
Построение графиков:
- График \( y = -x^2 + 1 \): парабола с вершиной в точке \((0, 1)\), открыта вниз.
- График \( y = 2x + 2 \): прямой, проходящий через точки \((-1, 0)\) и, например, \((0, 2)\).
Общая точка — \((-1,0)\), где оба графика пересекаются ровно в одной точке.
Если нужно, я могу помочь вам нарисовать эти графики или ответить на любые дополнительные вопросы!
