Вместе. Нам нужно найти площадь трапеции MNKP. По рисунку видно, что в трапецию вписана окружность, а также дано, что MP = NK. Из этого следует, что MNKP - равнобедренная трапеция. Зная, что в равнобедренные трапеции можно вписать окружность, можем утверждать, что сумма длин ее оснований равна сумме длин ее боковых сторон. То есть MN + PK = MP + NK. Также мы видим, что радиус вписанной окружности равен 5 и угол при вершине M равен 45 градусам. Это говорит нам о том, что треугольники OMP и ONK являются прямоугольными и равнобедренными (так как угол при вершине M равен 45 градусов и противолежащий ему угол тоже будет 45 градусов). Значит, MP и NK можно найти по формуле: MP = NK = 2 * радиус окружности. Подставим известное значение радиуса: MP = NK = 2 * 5 = 10. Теперь, когда у нас есть значения MP и NK, необходимо заметить, что, так как из любой точки круга перпендикуляры к касательным равны (радиусы), то MN и PK также равны по длине. Теперь надо найти сторону MN, которая суммируется с PK, чтобы дать 2 * MP (или 2 * NK, так как они равны). Пусть x – длина MN, тогда PK также будет равен x. Согласно приведенному выше соотношению оснований и боковых сторон, получим уравнение: MN + PK = MP + NK x + x = 10 + 10 2x = 20 x = 10 Таким образом, основания треугольника равны x = 10, и MNKP является равнобедренной трапецией с основаниями MN = PK = 10 и боковыми сторонами MP = NK = 10. Чтобы найти площадь, нам нужно знать высоту трапеции. Высотой трапеции является диаметр вписанной окружности, который в два раза больше радиуса, то есть равен 10. Площадь трапеции рассчитывается по формуле: S = (a + b) / 2 * h где a, b – длины оснований, и h – высота Подставляем значения: S = (10 + 10) / 2 * 10 = 10 * 10 = 100 Площадь трапеции MNKP равна 100 квадратных единиц.

Давайте подробно разберём задачу по шагам, чтобы понять, как найти площадь трапеции MNKP. ### Шаг 1. Анализ данных и условий задачи - В трапецию MNKP вписана окружность. - Дано, что: - MP = NK - Также известно, что трапеция равнобедренная (так как MP = NK и рисунок подтверждает это). - Радиус вписанной окружности равен 5. - Угол при вершине M равен 45°. Цель: найти площадь трапеции. --- ### Шаг 2. Свойства вписанных окружностей в трапецию Если внутрь трапеции можно вписать окружность, то сумма длин двух оснований равна сумме длин двух боковых сторон: \[ MN + PK = MP + NK \] Из условия, что MP = NK, получаем: \[ MN + PK = 2 \times MP \] Так как трапеция равнобедренная, основания MN и PK параллельны и равны. Обозначим: - \( MN = a \) - \( PK = b \) - \( MP = NK = c \) Тогда: \[ a + b = 2c \] --- ### Шаг 3. Определение длин боковых сторон Рассмотрим треугольники, образованные радиусом окружности, высотой и сторонами трапеции. - Так как радиус вписанной окружности равен 5, и перпендикуляр из центра окружности к сторонам равен радиусу, то радиус является высотой, опущенной из центра окружности к основанию. Поскольку угол при вершине M равен 45°, а к тому же, что треугольники OMP и ONK (где O — центр окружности) прямоугольные и равнобедренные, мы можем найти стороны: \[ MP = 2 \times R = 2 \times 5 = 10 \] Аналогично для NK. --- ### Шаг 4. Находим длины оснований Используя свойство равнобедренной трапеции и полученные значения: \[ a + b = 2c = 20 \] Из условия, что MP и NK равны и составляют 10, основание MN и PK тоже должны быть равны или связанные со сторонами через геометрические свойства. Поскольку основание MN и PK равны, обозначим: \[ MN = PK = x \] Тогда: \[ x + x = 2x = 20 \Rightarrow x = 10 \] Итак: \[ MN = PK = 10 \] --- ### Шаг 5. Находим высоту трапеции Высота \(\text{h}\) равна радиусу окружности, так как окружность вписана, следовательно, высота равна диаметру окружности: \[ h = 2 \times R = 10 \] --- ### Шаг 6. Расчет площади трапеции Формула площади трапеции: \[ S = \frac{(a + b)}{2} \times h \] Подставим полученные значения: \[ a = 10, \quad b = 10, \quad h = 10 \] Получаем: \[ S = \frac{10 + 10}{2} \times 10 = \frac{20}{2} \times 10 = 10 \times 10 = 100 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{100} \] Площадь трапеции MNKP равна **100 квадратных единиц**. ---