В школе учащиеся писали тест. Известно, что тест писали по крайней мере 2 2 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что средний…

Давайте подробно разберём задачу и найдём решение шаг за шагом.

Дано:

• Количество учащихся, писавших тест initially, — \( n \geq 2 \).

• Каждый набрал натуральное число баллов.

• Средний балл при этом был равен 14, то есть сумма баллов у всех учащихся:
  \[ S = n \times 14 \]

• Один из учащихся, писавших тест, перешёл в другую школу и его баллы были исключены из подсчёта.

• После этого пересчитали средний балл, и он вырос на 5%.

Наша задача: определить, какое было возможное количество учащихся \( n \).

---

Шаг 1: Обозначения

Обозначим:

• исходная сумма баллов: \[ S = 14n \]
• баллы удалённого ученика: \( x \) (натуральное число, так как баллы натуральные)

После удаления одного ученика:

• осталось \( n - 1 \) учащихся.
• сумма баллов стала \( S - x = 14n - x \).

Общий средний балл после удаления ученика:
\[ \bar{A} = \frac{14n - x}{n - 1} \]

---

Шаг 2: Новое среднее после удаления

Из условия, что средний балл вырос на 5%, и изначальный был 14:

\[ \text{новый средний} = 14 \times (1 + 0.05) = 14 \times 1.05 = 14.7 \]

Следовательно:

\[ \frac{14n - x}{n - 1} = 14.7 \]

---

Шаг 3: Решение уравнения

Запишем уравнение:

\[ 14n - x = 14.7(n - 1) \]

Раскроем скобки:

\[ 14n - x = 14.7n - 14.7 \]

Перенесем все члены, связанные с \( n \), в левую часть:

\[ 14n - 14.7n = -14.7 + x \]

Сгруппируем:

\[ -0.7n = -14.7 + x \]

Или:

\[ 0.7n = 14.7 - x \]

Обратите внимание, что \( x \) — натуральное число, и \( n \geq 2 \).

---

Шаг 4: Выражение для \( n \)

Перепишем:

\[ n = \frac{14.7 - x}{0.7} \]

Преобразуем дробь:

\[ n = \frac{147/10 - x}{7/10} = \frac{(147 - 10x)/10}{7/10} = \frac{147 - 10x}{10} \times \frac{10}{7} = \frac{147 - 10x}{7} \]

Итак, итоговое выражение:

\[ n = \frac{147 - 10x}{7} \]

---

Шаг 5: Ограничения на \( x \)

• \( x \) — натуральное число (минимум 1).
• \( n \geq 2 \).

Поскольку \( n \) — целое число, и делится на 7 (по формуле), это означает, что числитель \( 147 - 10x \) должно быть кратно 7.

Проверим, при каких \( x \):

\[ 147 - 10x \equiv 0 \ (\bmod 7) \]

Найдем, при каких \( x \):

\[ 147 \equiv 0 \ (\bmod 7) \]

так как \( 147 ÷ 7 = 21 \), то:

\[ -10x \equiv 0 \ (\bmod 7) \]

Но \( -10x \equiv -3x \ (\bmod 7) \), поскольку \( 10 \equiv 3 \ (\bmod 7) \):

\[ -3x \equiv 0 \ (\bmod 7) \]

или:

\[ 3x \equiv 0 \ (\bmod 7) \]

Множитель 3 и 7 взаимно просты, следовательно, \( 3x \equiv 0 \ (\bmod 7) \) только при:

\[ x \equiv 0 \ (\bmod 7) \]

то есть \( x \) должно быть кратным 7.

Обозначим \( x = 7k \), где \( k \geq 1 \).

---

Шаг 6: Подставляем \( x = 7k \)

Подставим в выражение для \( n \):

\[ n = \frac{147 - 10 \times 7k}{7} = \frac{147 - 70k}{7} = 21 - 10k \]

Шаг 7: Оценка значений

Помним, что:

• \( n \geq 2 \),
• \( k \geq 1 \),
• \( x = 7k \geq 7 \).

Отсюда:

\[ 21 - 10k \geq 2 \]

Решим неравенство:

\[ 21 - 10k \geq 2 \]

\[ -10k \geq -19 \]

\[ 10k \leq 19 \]

\[ k \leq \frac{19}{10} = 1.9 \]

Так как \( k \geq 1 \), то единственное возможное значение:

\[ k = 1 \]

и тогда:

\[ n = 21 - 10 \times 1 = 11 \]

и:

\[ x = 7 \times 1 = 7 \]

---

Ответ:

Изначально участвовало 11 учеников, один из которых набрал 7 баллов.

---

Проверка:

• Исходная сумма баллов:

\[ S = 14 \times 11 = 154 \]

• Удаляем ученика с 7 баллами:

\[ 154 - 7 = 147 \]

• Осталось 10 учеников, новый средний:

\[ 147 / 10 = 14.7 \]

• Новый средний после удаления:

\[ 14.7 \]

• Расчетный рост среднего:

\[ (14.7 - 14) / 14 = 0.7 / 14 = 0.05 = 5\% \]

Совпадает с условием.

---

Итог:

Ответ: 11 учащихся.

Если потребуется, я могу дополнительно проверить другие варианты, но по расчетам, это единственный возможный ответ, соответствующий условию задачи.