В школе учащиеся писали тест. Известно, что тест писали по крайней мере 2 2  учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что средний балл равнялся  14. 14. Один из учащихся, писавших тест, перешёл в другую школу, после чего средний балл за тест был пересчитан. В результате средний балл в школе вырос на  5 % . 5%. Сколько учащихся могло писать тест изначально? Добавить ответ Решений нет

Давайте подробно разберём задачу и найдём решение шаг за шагом. **Дано:** - Количество учащихся, писавших тест initially, — \( n \geq 2 \). - Каждый набрал натуральное число баллов. - Средний балл при этом был равен 14, то есть сумма баллов у всех учащихся: \[ S = n \times 14 \] - Один из учащихся, писавших тест, перешёл в другую школу и его баллы были исключены из подсчёта. - После этого пересчитали средний балл, и он вырос на 5%. **Наша задача:** определить, какое было возможное количество учащихся \( n \). --- ### Шаг 1: Обозначения Обозначим: - исходная сумма баллов: \[ S = 14n \] - баллы удалённого ученика: \( x \) (натуральное число, так как баллы натуральные) После удаления одного ученика: - осталось \( n - 1 \) учащихся. - сумма баллов стала \( S - x = 14n - x \). Общий средний балл после удаления ученика: \[ \bar{A} = \frac{14n - x}{n - 1} \] --- ### Шаг 2: Новое среднее после удаления Из условия, что средний балл вырос на 5%, и изначальный был 14: \[ \text{новый средний} = 14 \times (1 + 0.05) = 14 \times 1.05 = 14.7 \] Следовательно: \[ \frac{14n - x}{n - 1} = 14.7 \] --- ### Шаг 3: Решение уравнения Запишем уравнение: \[ 14n - x = 14.7(n - 1) \] Раскроем скобки: \[ 14n - x = 14.7n - 14.7 \] Перенесем все члены, связанные с \( n \), в левую часть: \[ 14n - 14.7n = -14.7 + x \] Сгруппируем: \[ -0.7n = -14.7 + x \] Или: \[ 0.7n = 14.7 - x \] Обратите внимание, что \( x \) — натуральное число, и \( n \geq 2 \). --- ### Шаг 4: Выражение для \( n \) Перепишем: \[ n = \frac{14.7 - x}{0.7} \] Преобразуем дробь: \[ n = \frac{147/10 - x}{7/10} = \frac{(147 - 10x)/10}{7/10} = \frac{147 - 10x}{10} \times \frac{10}{7} = \frac{147 - 10x}{7} \] Итак, итоговое выражение: \[ n = \frac{147 - 10x}{7} \] --- ### Шаг 5: Ограничения на \( x \) - \( x \) — натуральное число (минимум 1). - \( n \geq 2 \). Поскольку \( n \) — целое число, и делится на 7 (по формуле), это означает, что числитель \( 147 - 10x \) должно быть кратно 7. Проверим, при каких \( x \): \[ 147 - 10x \equiv 0 \ (\bmod 7) \] Найдем, при каких \( x \): \[ 147 \equiv 0 \ (\bmod 7) \] так как \( 147 ÷ 7 = 21 \), то: \[ -10x \equiv 0 \ (\bmod 7) \] Но \( -10x \equiv -3x \ (\bmod 7) \), поскольку \( 10 \equiv 3 \ (\bmod 7) \): \[ -3x \equiv 0 \ (\bmod 7) \] или: \[ 3x \equiv 0 \ (\bmod 7) \] Множитель 3 и 7 взаимно просты, следовательно, \( 3x \equiv 0 \ (\bmod 7) \) только при: \[ x \equiv 0 \ (\bmod 7) \] то есть \( x \) должно быть кратным 7. Обозначим \( x = 7k \), где \( k \geq 1 \). --- ### Шаг 6: Подставляем \( x = 7k \) Подставим в выражение для \( n \): \[ n = \frac{147 - 10 \times 7k}{7} = \frac{147 - 70k}{7} = 21 - 10k \] ### Шаг 7: Оценка значений Помним, что: - \( n \geq 2 \), - \( k \geq 1 \), - \( x = 7k \geq 7 \). Отсюда: \[ 21 - 10k \geq 2 \] Решим неравенство: \[ 21 - 10k \geq 2 \] \[ -10k \geq -19 \] \[ 10k \leq 19 \] \[ k \leq \frac{19}{10} = 1.9 \] Так как \( k \geq 1 \), то единственное возможное значение: \[ k = 1 \] и тогда: \[ n = 21 - 10 \times 1 = 11 \] и: \[ x = 7 \times 1 = 7 \] --- ### **Ответ:** **Изначально участвовало 11 учеников, один из которых набрал 7 баллов.** --- ### **Проверка:** - Исходная сумма баллов: \[ S = 14 \times 11 = 154 \] - Удаляем ученика с 7 баллами: \[ 154 - 7 = 147 \] - Осталось 10 учеников, новый средний: \[ 147 / 10 = 14.7 \] - Новый средний после удаления: \[ 14.7 \] - Расчетный рост среднего: \[ (14.7 - 14) / 14 = 0.7 / 14 = 0.05 = 5\% \] **Совпадает с условием.** --- ## Итог: **Ответ: 11 учащихся.** Если потребуется, я могу дополнительно проверить другие варианты, но по расчетам, это единственный возможный ответ, соответствующий условию задачи.