Построй у себя в тетради координатную плоскость и отметь на ней точки A ( − 4 ; − 5 ) A(−4;−5) , B ( 10 ; 2 ) B(10;2) , C ( − 4 ; 4 ) C(−4;4) и D ( − 1 ; − 8 ) D(−1;−8) . Найди…

Давайте пошагово решим задачу:

Шаг 1: Запишем координаты точек

• Точка A: \((-4, -5)\)
• Точка B: \((10, 2)\)
• Точка C: \((-4, 4)\)
• Точка D: \((-1, -8)\)

Шаг 2: Построим уравнения отрезков AB и CD

Для нахождения точки пересечения сначала найдем уравнения линий, проходящих через эти отрезки.

---

Отрезок AB

1. Вычислим коэффициенты уравнения прямой (наклон \(k\)):

\[ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-5)}{10 - (-4)} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \]

2. Найдем уравнение прямой:

Используем точку \(A(-4, -5)\): \[ y - y_1 = k (x - x_1) \] \[ y + 5 = \frac{1}{2}(x + 4) \] \[ y + 5 = \frac{1}{2}x + 2 \] \[ y = \frac{1}{2}x + 2 - 5 \] \[ y = \frac{1}{2}x - 3 \]

Уравнение прямой AB:

\[ y = \frac{1}{2}x - 3 \]

---

Отрезок CD

1. Вычислим коэффициент \(k_{CD}\):

\[ k_{CD} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-8 - 4}{-1 - (-4)} = \frac{-12}{3} = -4 \]

2. Найдем уравнение прямой, проходящей через точку \(C(-4, 4)\):

\[ y - 4 = -4(x + 4) \] \[ y - 4 = -4x - 16 \] \[ y = -4x - 16 + 4 \] \[ y = -4x - 12 \]

Уравнение прямой CD:

\[ y = -4x - 12 \]

---

Шаг 3: Найдём точку пересечения двух прямых

Для этого приравниваем правые части уравнений:

\[ \frac{1}{2}x - 3 = -4x - 12 \]

Решим это уравнение:

\[ \frac{1}{2}x + 4x = -12 + 3 \] \[ \frac{1}{2}x + \frac{8}{2}x = -9 \] \[ \frac{9}{2}x = -9 \]

Умножим обе части на 2:

\[ 9x = -18 \] \[ x = -2 \]

Подставим \(x = -2\) в одно из уравнений для нахождения \(y\):

\[ y = \frac{1}{2}(-2) - 3 = -1 - 3 = -4 \]

Ответ:

Координаты точки пересечения отрезков AB и CD:

\[ \boxed{(-2, -4)} \]

---

Шаг 4: Проверка, входит ли точка в отрезки

• Для AB точка \((-2, -4)\) лежит между \(A(-4, -5)\) и \(B(10, 2)\):

  • по x: \(-4 \leq -2 \leq 10\) — верно
  • по y: \(-5 \leq -4 \leq 2\) — верно

• Для CD точка \((-2, -4)\) лежит между \(C(-4, 4)\) и \(D(-1, -8)\):

  • по x: \(-4 \leq -2 \leq -1\) — верно
  • по y: \(4 \leq -4 \leq -8\) — неверно (значения не совпадают)

Поскольку точка \((-2, -4)\) не входит в отрезок CD (она лежит вне отрезка по y), следовательно, реальная точка пересечения отрезков — это точка их линий.

Итог:
Координаты точки пересечения линий, проходящих через отрезки AB и CD, — \((-2, -4)\).