Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и E, AM = 17 см, BK = 6 см, периметр треугольника ABC равен 72 см. Найдите длину стороны AC в сантиметрах.

Дано: - Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках M, K и E. - AM = 17 см - BK = 6 см - Периметр треугольника ABC = 72 см Нужно найти длину стороны AC. --- ### Шаг 1. Обозначим стороны треугольника Обозначим стороны: - \( AB = c \) - \( BC = a \) - \( AC = b \) --- ### Шаг 2. Используем свойства вписанной окружности Обозначения точек касания: - Точка касания с сторон \( BC \) — K - Точка касания с сторон \( AC \) — E - Точка касания с сторон \( AB \) — M Известно, что напротив вершины A — сторона BC, напротив B — AC, напротив C — AB. Вписанная окружность делит стороны на отрезки так, что: - Отрезки, простирающиеся от вершины к точкам касания, равны между собой. - Конкретно: - От ребра \( BC \), касательные от точки A — \( AE \) и \( AF \), равны между собой. - От ребра \( AC \), касательные от точки B — \( BD \) и \( BF \), равны между собой. - От ребра \( AB \), касательные от точки C — \( CD \) и \( CE \), равны между собой. --- ### Шаг 3. Запишем длины отрезков, исходя из данных и свойств касательных Пусть: - \( AM = x \) (по условию, \( x = 17 \)) — это часть стороны \( AB \) от A до точки касания M. - Аналогично обозначим: - \( BK = y \) (по условию, \( y = 6 \)) — часть стороны \( BC \) от B до точки касания K. Тогда, стороны можно выразить через эти касательные. - \( AB = AM + MB = x + s \), где \( s \) — длина от точки касания M до B. - \( BC = BK + KC = y + t \), где \( t \) — длина от точки касания K до C. - \( AC = AE + EC = p + q \), где \( p \) и \( q \) — длины частей стороны \( AC \). Значит, касательные, проведённые к окружности из одной вершины, равны. - Из вершины A: касательные к окружности — \( AM \) и \( AN \) (но мы уже знаем \( AM = 17 \)). Но более важное: - В частности, касательные, проведённые из одной вершины, равны между собой. - Поэтому, к примеру, касательные из вершины A — \( AM = AF \) и \( AN \), и так далее. - Аналогично для B и C. --- ### Шаг 4. Используем особенности касаний Поскольку окружность вписана в треугольник: - сумма сторон \( AB + BC + AC = 72 \) (периметр). Обозначим стороны: - \( AB = c \) - \( BC = a \) - \( AC = b \) Тогда: \[ a + b + c = 72. \] --- ### Шаг 5. Связь между касательными и сторонами Касательные, исходящие из вершины, равны: - \( AM = AE \) (происходит из точки A) - \( BK = BF \) (из точки B) - \( CE = CD \) (из точки C) Обозначим: - \( AM = AE = 17 \), так как касательные из одной точки равны. - \( BK = BF = 6 \). Теперь выразим стороны через эти касательные: - \( AB = AM + MB \). - \( AC = AE + EC \). - \( BC = BK + KC \). Из свойств касательных: - \( AM = AF \), где \( F \) — точка касания на \( AB \). - Аналогично для других. --- ### Шаг 6. Связь через элементы касательных Известно, что стороны делятся на касательные сегменты, связанные с точками касания. Обозначим: - \( AS = k \), где \( S \) — точка касания на стороне \( BC \). Тогда: - \( AB = x + y \) (где x — часть от A до касания M, у нас уже она 17, а y — оставшаяся часть). - \( BC = y + z \) - \( AC = x + z \). Известно: - \( AM = 17 \), это часть \( AB \), так что \( AB = 17 + \) некоторая часть. Но поскольку касательные из одной вершины равны, можно представить: - От вершины A — касательные \( AB \) и \( AC \) — \( s \) и \( t \), тогда: Поскольку \( AM = 17 \), и это часть \( AB \), тогда \( AB = 17 + s \). Из свойства касательных: касательные из одной вершины одинаковы, поэтому: - Вершина A: касательные к окружности (от A) равны \( AM \) и \( AN \) — то есть \( 17 \). Аналогично, в вершинах B и C: касательные равны между собой. --- ### Шаг 7. Получаем систему уравнений Поскольку \( AB = c \), \( BC = a \), \( AC = b \), и они связаны с касательными: - Вершина A: касательные равны \( s \), \( t \): \( AB = s + t \). - Вершина B: касательные равны \( u \), \( v \): \( BC = u + v \). - Вершина C: касательные равны \( p \), \( q \): \( AC = p + q \). Из условий: - \( AM = 17 \) — касательная из A к окружности, соответствующая \( t \). - \( BK = 6 \) — касательная из B, соответствующая \( u \). Поскольку касательные от одной вершины равны: - \( t = u \). Отсюда: - Строим систему: \[ \begin{cases} c = s + t, \\ a = u + v, \\ b = p + q, \end{cases} \] где \( t = u \). Таким образом, - \( c = s + t \), - \( a = t + v \), - \( b = p + q \). Значит, \( AB = s + t \), и из условия \( AM = 17 \), касательная из A — \( t \), значит, \( AB = s + 17 \). --- ### Шаг 8. Итоговые выражения и решение Также, периметр равен 72, а сумма сторон: \[ a + b + c = 72. \] Заменим \( a \), \( b \), \( c \): - \( c = s + 17 \), - \( a = t + v \), - \( b = p + q \). Так как касательные из одной вершины равны, - \( s = p \), - \( t = u \), - \( v = q \). Поскольку из A касательные равны \( t \), из B — \( u \), эти равны. Тогда: - \( c = s + t \); - \( a = t + v \); - \( b = p + q \); Но \( p = s \), \( q = v \). Периметр: \[ (s + t) + (t + v) + (s + v) = 72. \] Объединим: \[ (s + t) + (t + v) + (s + v) = 72, \] \[ s + t + t + v + s + v = 72, \] \[ 2s + 2t + 2v = 72, \] \[ s + t + v = 36. \] Пока у нас есть: - \( s + t + v = 36 \), - \( AM = 17 \) — касательная из A, это \( t \), - \( BK = 6 \) — касательная из B, это тоже \( u = t \), значит \( t = 6 \). Подставим \( t = 6 \): \[ s + 6 + v = 36 \quad \Rightarrow \quad s + v = 30. \] Теперь стороны выражаются как: - \( AB = s + t = s + 6 \), - \( BC = t + v = 6 + v \), - \( AC = p + q = s + v \). Но \( AC = s + v = 30 \). Вот и нашли, что \( AC = 30 \). --- ### Итог: **Длина стороны \( AC \) равна \(\boxed{30}\) см.** --- Если нужно более подробное объяснение или есть дополнительные вопросы, я готов помочь!