Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите радиус вписанной окружности.
Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним все вычисления.
Дано:
Катеты прямоугольного треугольника: \( a = 6 \), \( b = 8 \).
Требуется найти радиус вписанной окружности — обозначим его \( r \).
Шаг 1: Найдём гипотенузу \( c \)
По теореме Пифагора:
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
\]
Гипотенуза равна 10.
Шаг 2: Найдём площадь треугольника \( S \)
Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
\[
S = \frac{1}{2} \times a \times b
\]
Подставляем значения:
\[
S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = \frac{1}{2} \times 48 = 24
\]
Площадь равна 24.
Шаг 3: Найдём полупериметр \( p \)
Периметр \( P \) равен:
\[
P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24
\]
Полупериметр:
\[
p = \frac{P}{2} = \frac{24}{2} = 12
\]
Шаг 4: Используем формулу радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности для любого треугольника можно найти по формуле:
\[
r = \frac{S}{p}
\]
Где:
- \( S \) — площадь
- \( p \) — полупериметр
Подставляем полученные значения:
\[
r = \frac{24}{12} = 2
\]
Итог:
Радиус вписанной окружности равен 2.
Если есть вопросы по объяснениям, могу помочь более подробно!
