Давайте решим задачу шаг за шагом, и я объясню каждое действие.
Задача:
Три студентки моют посуду по очереди. Вероятности разбить тарелку при моющей — такие:
- Первая студентка: 0.03
- Вторая студентка: 0.01
- Третья студентка: 0.04
Раздался звон разбитой тарелки. Требуется найти вероятность того, что именно третья студентка мыла тарелку, исходя из этого звука.
Решение с помощью теории вероятностей
Обозначения:
- ( A_1 ): первая студентка мыла тарелку
- ( A_2 ): вторая студентка мыла тарелку
- ( A_3 ): третья студентка мыла тарелку
Вероятности:
- ( P(A_1) = \frac{1}{3} ) (одинаковая вероятность, так как выбор по очереди, предполагается, что каждая моет посуду с равной вероятностью)
- ( P(A_2) = \frac{1}{3} )
- ( P(A_3) = \frac{1}{3} )
Вероятности разбить тарелку при данной студентке:
- ( P(\text{разбить} | A_1) = 0.03 )
- ( P(\text{разбить} | A_2) = 0.01 )
- ( P(\text{разбить} | A_3) = 0.04 )
Шаг 1. Найдём вероятность разбитой тарелки ( P(\text{разбита}) )
Это сумма вероятностей, что кто-то из них мыл тарелку и она разбилась:
[
P(\text{разбита}) = P(\text{разбита} | A_1) P(A_1) + P(\text{разбита} | A_2) P(A_2) + P(\text{разбита} | A_3) P(A_3)
]
Подставим значения:
[
P(\text{разбита}) = (0.03) \times \frac{1}{3} + (0.01) \times \frac{1}{3} + (0.04) \times \frac{1}{3}
]
Вычислим:
[
P(\text{разбита}) = \frac{1}{3} (0.03 + 0.01 + 0.04) = \frac{1}{3} \times 0.08 = \frac{0.08}{3} \approx 0.0267
]
Шаг 2. Найдём условную вероятность, что третья студентка мыла тарелку при разбитии
По формуле Байеса:
[
P(A_3 | \text{разбита}) = \frac{P(\text{разбита} | A_3) \times P(A_3)}{P(\text{разбита})}
]
Подставим числа:
[
P(A_3 | \text{разбита}) = \frac{0.04 \times \frac{1}{3}}{0.0267} = \frac{\frac{0.04}{3}}{0.0267} = \frac{0.01333}{0.0267} \approx 0.5
]
Ответ:
Вероятность того, что третья студентка мыла тарелку, если услышан звон разбитой посуды — приблизительно 0.5 (50%).
Если есть вопросы или нужно объяснение деталей, я всегда помогу!
